功率信号的频谱

1. 前言

知识点1：函数周期性判定定理
假设函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 均为周期性函数，其最小正周期分别为 $T_f$ 和 $T_g$ ，若 $T_f/T_g$ 为有理数，则函数 $z (x) = f (x) + g (x)$ 也是周期函数，其最小正周期为 $T_f$ 和 $T_g$ 的最小公倍数

知识点2：三角函数正交集
$\sin(x), \cos(x), \sin(2x), \cos(2x), \cdots, \sin(nx), \cos(nx), \cdots, n\in Z$
两两函数相乘，积分结果为 0

知识点3：欧拉公式及其变换
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \\ \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\ \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

知识点4：狄利克雷（Dirichlet）条件

（1）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个
（3）在一周期内，信号是绝对可积的

知识点5：傅里叶级数指数形式
假设一个函数 $f (x)$ 满足狄利克雷条件，且周期为 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ ，则
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty C_ne^{in\omega t} \\ C_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-in\omega t}dt$

2. 功率信号的频谱

通信原理第18页后头：
对于周期性的功率信号，我们很容易计算其频谱······在数学上能将周期性函数展开成傅里叶级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，一般信号都是能满足的。

对傅里叶级数忘记了的，可以点击【参考资料】内的三个资料，挺详细的
这一大堆，其实就是在说周期性函数能够展开成傅里叶级数的指数形式，跟上面的知识点 5 基本上一样，只不过将角速率 $\omega$ 通过 $\omega=2\pi f$ 换成了频率
这里的 $T_0$ 为 $s (t)$ 的最小正周期， $f_0$ 为基频，即最小的基本频率，然后以最小基频为准，通过 $n$ 倍频产生谐波，最后叠加在一起形成目标波形

通信原理第18页结尾：
当 $n = 0$ 时，它是信号 $s (t)$ 的时间平均值，即直流分量。

可以看看另一篇博客：周期性信号展开成傅里叶级数【可视化】。可以直观感受什么是直流分量，直流分量不影响信号特征，只对整体信号的振幅产生作用

通信原理第19页开头：
一般来说，式（2.2-1）中频谱函数 $C_n$ 是一个复数，代表在频率 $nf_0$ 上信号分量的复振幅（complex amplitude）。我们可以把它写作：
$C_n=|C_n|e^{j\theta_n}$
式中： $C_n|$ 为频率 $nf_0$ 的信号分量的振幅； $\theta_n$ 为频率 $nf_0$ 的信号分量的相位。

为什么可以写成这种形式呢？本身非通信专业的，从零开始看通信原理这本书，这块纯小白，看了些资料后，才知道
看看这张图，右边那个图从时域上看到的一个正弦波，实际上就是左边那个图一个点 $A$ 以角速度 $\omega$ 绕圆心旋转得到的
正弦波函数原型： $y=Asin(\omega x+\varphi)$ 。确定振幅、角速度、初相，就能唯一确定一个正弦波了，左图中已经标明了角速度 $\omega$ 可以换算成频率，振幅就是半径 $R$ ，初相可以由角度 $\theta$ 简单换算出来，可以将左图看成频域，而一个信号就是由多个不同振幅、不同频率、不同相位的圆叠加起来的
知道了圆的作用，坐标点： $y)=(\cos\theta, \sin\theta)$ ，用复数表示就是 $\cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta}$ ，经典的欧拉公式，而这个 $e^{i\theta}$ 就可以看作是一个单位向量， $C_n$ 是傅里叶级数的系数嘛，它是一个复数 $a + ib$ ，也是一个向量，而一个向量完全可以由向量的长度乘上一个单位向量，向量的长度就是复数的模 $|C_n|=\sqrt{a^2+b^2}$ ，单位向量就是 $e^{i\theta}$ ，所以就可以写成那种形式了

通信原理第19页中间：
频谱函数的正频率部分和负频率部分见存在复数共轭关系。这就是说，负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的。

通过公式推导，对 $n$ 取负值（数学公式上 $n$ 的取值范围可是 $-\infty$ 到 $+\infty$ 嗷，当然可以去负值），只有虚数部分才有变量 $n$ ，实数没有，自然就存在复数共轭的关系（ $a + ib$ 与 $a - ib$ 称之为一对共轭复数）
在几何意义上理解，对 $n$ 取负，实际上就是朝相反方向旋转，但值还是一样，初始相位没变，振幅也没变，那么它们的实数部分自然也是一样的，只不过虚数部分关于实数轴对称，自然就是一对共轭复数
它们的振幅始终一样，也就是半径一样，即振幅谱关于虚数轴偶对称，一个在第一象限，一个在第四象限，虽然角度值一样，但方向不一样，符号肯定相反，即相位谱关于虚数轴奇对称

通信原理第19页最后公式推导：

其中 $C_0$ 为直流分量，利用欧拉公式，将指数形式转变为复数形式，这样就比较好求各谐波的振幅了，因为实信号中没有负频率，所以整个推导过程中，仅对正频率部分推导，最后式（2.2-8）得到的振幅就是实信号的振幅
但是，因为式（2.2-7）令 $C_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)$ ，注意这个令哈，有了这个令，才推导出实信号（没有负频率）的振幅为 $\sqrt{a^2+b^2}$ ，而这个令， $n\geq1$ ，现在是在数学上表示正频率值，若把 $n$ 的范围放到 $(-\infty, +\infty)$ ，那么此时的 $C_n$ 就在数学上囊括了正负所有频率的振幅了，对 $C_n$ 求模，得到式（2.2-10），即数学上的正负频率的振幅值了，和式子（2.2-8）中实信号振幅做对比，发现数学上正负频率的振幅等于实信号振幅的一半