最小生成树介绍

最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)是代价最小的连通网的生成树，即该生成树上的边的权值和最小

最小生成树的性质：

必须使用且仅使用连通网中的n-1条边来联结网络中的n个顶点；

不能使用产生回路的边；

各边上的权值的总和达到最小

最小生成树在连通网场景中应用广泛，例如

在n个城市之间建立通信网络，如何建立成本最小的网络

在n个城市之间建立公路网络，如何建立成本最小的网络

应用场景：“村村通”，我国系统工程，全国行政村互通：公路、电力、生活和饮用水、电话网、有线电视网、互联网等等

村村通公路，村村通水气电，村村通5G，村村通宽带

2025年全国基本实现村村通

Prim算法

普里姆(Prim)算法设计

假设N=(V,E)是连通网

TE是N上最小生成树中边的集合

  1.U={u0}，(u0ÎV), TE={}

  2.在所有uÎU,vÎV-U的边(u,v)ÎE中找一条代价最小的边(u,v0)并入集合TE，同时v0并入U

  3.重复2，直到U=V

算法示例

        普里姆(Prim)算法设计思想：每次找到的最小权值边，一头属于已选顶点U，一头属于未选顶点V-U设置一个辅助数组closedge，用于保存未选顶点的最小权值边closedge，而且这条边的另一个点必然输入已选顶点

推导流程

普里姆(Prim)算法分析

从算法看出，算法只是和顶点数量相关，与边无关

时间复杂度为O(n2)

普里姆适用于边稠密的网，

当一个通信网的点数量少但边数量多，则用普里姆

参考设计代码

class Edge {
public:string begin;string end;int weight;
};
//！！！！！！！！普里姆算法！！！！！！！！！void Prim() {Edge *q = new Edge[l];string s;cin >> s;int start = find(s);for (int i = 0; i < l; i++) {arr[i][start] = 0;}int k = 0;int next;int remain = l - 1;while (remain > 0) {arr[start][l] = 1;int min = 0xffff;for (int i = 0; i < l; i++) {if (arr[i][l] == 1) {for (int j = 0; j < l; j++) {if (arr[i][j] < min && arr[i][j] != 0) {min = arr[i][j];start = i;next = j;}}}}q[k].begin = str[start];q[k].end = str[next];q[k].weight = arr[start][next];sum += arr[start][next];k++;for (int i = 0; i < l; i++) {arr[i][next] = 0;}remain--;start = next;}cout << sum << endl;cout << "prim:" << endl;for (int i = 0; i < k; i++)cout << q[i].begin << ' ' << q[i].end << ' ' << q[i].weight << endl;}

 

Kruskal算法

最小生成树生成算法——克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

假设G=(V,E)是连通网，设非连通图T={V,{}}，图中每个顶点自成一个连通分量

1.在E中找一条代价最小，且其两个顶点分别依附不同的连通分量的边，将其加入T中

2.重复1，直到T中所有顶点都在同一连通分量上

算法示例

算法设计

 克鲁斯卡尔算法设计用选择排序算法，只需要即找出n-1条符合要求的边

难点：如何判断一条边属于两个不同的连通分量

设计辅助数组Belong[n]，其中Belong[i]初始为-1，表示顶点i未选

当选中一条边，查看这条边的两个顶点i和j

如果Belong[i]和Belong[j]都是-1，则生成新分量编号并设Belong[i]和Belong[j]

如果Belong[i]或Belong[j]是-1，则生成新分量编号并设Belong[i]或Belong[j]

如果Belong[i]或Belong[j]都不是-1，则说明两个顶点已选

如果Belong[i]==Belong[j]，则说明同属一个分量，放弃

如果Belong[i]<>Belong[j]，则说明分属不同分量，选择这条边并把两个分量合并，即更改相关分量的Belong值 

 算法分析

算法只是和边数量相关，因此适用于点稠密的网

时间复杂度为O(eloge)

当一个通信网的边数量少但点数量多，则适用

参考代码 

//克鲁斯卡尔算法执行结点
class edge {
public:int begin;int end;int weight;
};//！！！！！！！克鲁斯卡尔算法！！！！！void Kurskal() {for (int i = 0; i < l; i++)flag[i] = 0;cout << "kruskal:" << endl;//将所获得边集数组进行排序for (int i = 0; i < t; i++)for (int j = 0; j < t - i - 1; j++) {if (e[j].weight > e[j + 1].weight)swap(e[j], e[j + 1]);}for (int i = 0; i < l; i++) {int o = find(e[i].begin);int p = find(e[i].end);if (o != p) {flag[o] = p;cout << str[e[i].begin] << ' ' << str[e[i].end] << ' ' << e[i].weight << endl;}}}

 

完整代码(仅供参考)

#include<iostream>
#include<queue>#define nu 0xffff;
using namespace std;class node {
public:int info;node *next;node() {next = nullptr;}
};class point {
public:int data;node *head;point() {head = nullptr;}
};//克鲁斯卡尔算法执行结点
class edge {
public:int begin;int end;int weight;
};class Edge {
public:string begin;string end;int weight;
};class graph {
private:int l, t;int **arr;string *str;int *flag;edge *e;int sum = 0;point *a;int n, m;
public:graph() {Create();}//邻接矩阵存储void Create() {cin >> l;str = new string[l];flag = new int[l];arr = new int *[l + 1];for (int i = 0; i < l; i++) {flag[i] = 0;arr[i] = new int[l];}for (int i = 0; i < l; i++)for (int j = 0; j < l; j++)arr[i][j] = nu;for (int i = 0; i < l; i++)cin >> str[i];cin >> t;for (int i = 0; i < t; i++) {string o, p;int num;cin >> o >> p >> num;int oo = find(o), pp = find(p);arr[oo][pp] = arr[pp][oo] = num;e[i].begin = oo;e[i].end = pp;e[i].weight = num;}for (int i = 0; i < l; i++) {for (int j = 0; j < l; j++)cout << arr[i][j] << ' ';cout << endl;}}//克鲁斯卡尔算法int find(int i) {while (flag[i] > 0)i = flag[i];return i;}int find(const string &ss) {for (int i = 0; i < l; i++)if (str[i] == ss)return i;return -1;}//！！！！！！！克鲁斯卡尔算法！！！！！void Kurskal() {for (int i = 0; i < l; i++)flag[i] = 0;cout << "kruskal:" << endl;//将所获得边集数组进行排序for (int i = 0; i < t; i++)for (int j = 0; j < t - i - 1; j++) {if (e[j].weight > e[j + 1].weight)swap(e[j], e[j + 1]);}for (int i = 0; i < l; i++) {int o = find(e[i].begin);int p = find(e[i].end);if (o != p) {flag[o] = p;cout << str[e[i].begin] << ' ' << str[e[i].end] << ' ' << e[i].weight << endl;}}}//！！！！！！！！普里姆算法！！！！！！！！！void Prim() {Edge *q = new Edge[l];string s;cin >> s;int start = find(s);for (int i = 0; i < l; i++) {arr[i][start] = 0;}int k = 0;int next;int remain = l - 1;while (remain > 0) {arr[start][l] = 1;int min = 0xffff;for (int i = 0; i < l; i++) {if (arr[i][l] == 1) {for (int j = 0; j < l; j++) {if (arr[i][j] < min && arr[i][j] != 0) {min = arr[i][j];start = i;next = j;}}}}q[k].begin = str[start];q[k].end = str[next];q[k].weight = arr[start][next];sum += arr[start][next];k++;for (int i = 0; i < l; i++) {arr[i][next] = 0;}remain--;start = next;}cout << sum << endl;cout << "prim:" << endl;for (int i = 0; i < k; i++)cout << q[i].begin << ' ' << q[i].end << ' ' << q[i].weight << endl;}};