寒假思维训练day17 C. Equal Frequencies

不知不觉已经过了差不多一个月了，坚持一件事情还是有点收获的，今天更新一道1600的构造。

寒假训练计划day17

摘要：

Part1 题意

Part2 题解 (有数学推导，latex形式)

Part3 代码 (C++版本，有详细注释)

Part4 我对构造题的归纳总结(自己对构造题的浅薄理解还有例题)

题目链接(有需自取)：Problem - 1781C - Codeforces

Part1 题意

题意:

规定字符串是平衡字符串当且仅当字符串中每个字符的数量相等，给定一个长度为 $n$ 的字符串S，要求找到一个长度为 $n, n \leq 1e5$ 的平衡字符串T，使得满足T和S的字符匹配数最多，也就是 $\sum_{i = 0}^{n - 1} (S[i] == T[i] ? 1 : 0)$ 最大，输出不匹配的数量和构造出来的T。

Part2 题解

题解：

1、已知 $n,S$ , 设 $res$ 为字符串的匹配数量并赋初值 $0$ 。

2、我们来观察一下平衡字符串有什么性质，因为在平衡字符串中，每个字符的数量都是相等的，假设我们知道每个字符的数量都是 $cnt$ ，显然 $n \% cnt = 0, 1 \leq n / cnt \leq 26$ ，这两个数本质就是 $n$ 的约数。所以我们对 $n$ 分解约数，找到所有满足 $cnt * hve = n, cnt <= 26$ 的数对。

3、假设我们当前考虑 $cnt, hve$ ，我们需要求出当前这样分配最多能匹配几个字符，因为每个字符在原字符串中的数量不同，所以我们预处理一个 $Pair<int, char>$ 序列，他们存的是S中的字符和字符的数量，并且排序，再处理出来一个该序列的前缀和序列，根据这两个序列我们可以开始求最多能匹配几个字符，我们先二分出大于等于 $hve$ 的位置，再进行分了讨论，具体如下：
// u1是cnt, u2是hve, v是匹配数量     
int u1 = c, u2 = n / c;
int l = 1, r = cnt, v; 
if(u1 <= 26) {// 先二分while(l < r) {int mid = l + r >> 1;if(q[mid].ff >= u2) r = mid;else l = mid + 1;}// 分类讨论v = -1e18;if(q[l].ff >= u2) {if(cnt - l + 1 >= u1) v = u1 * u2;else v = (cnt - l + 1) * u2 + qs[l - 1] - qs[max(0ll,l - 1 - (u1 - (cnt - l + 1)))];}else {v = qs[cnt] - qs[max(0ll,cnt - u1)];}// 更新res if(res < v) {res = v;usu1 = u1, usu2 = u2;}
}
最后得到了使得匹配数量 $res$ 最大的 $cnt, hve$ 。

4、现在我们需要利用 $cnt,hve$ 逆向构造出T，首先我们对于已经处理出来的 $Pair<int, char>$ 序列（已排序）的后面 $cnt$ 个，注意可以会有不足的情况，我们就得补充回去，具体操作如下：
cout << n - res << endl;  // 输出最后不匹配的最小数量
vector<char> us;   
// 先处理在原字符串中的字符 
for(int i = cnt; i >= max(1ll, cnt - usu1 + 1); i--) {    us.push_back(q[i].ss); st[q[i].ss - 'a'] = usu2;      
}// 先将原字符串的字符有st标记的填入
for(int i = 0; i < n; i++) if(st[s[i] - 'a']) { ans[i] = s[i];st[s[i] - 'a']--;is_use[i] = 1;}// 将后面的补上
for(int i = max(1ll, cnt - usu1 + 1) - 1; i >= 1; i--)us.push_back(q[i].ss), st[q[i].ss - 'a'] = usu2;  // 如果不够再补上一些没用过的字符
for(int i = 0; i <= 25; i++) if(!ot[i]) us.push_back(i + 'a'), st[i] = usu2;  int l = 0;
// 最后从入序列的顺序补全字符串
for(int i = 0; i < n; i++) { while(!st[us[l] - 'a']) l++; if(!is_use[i]) ans[i] = us[l], st[us[l] - 'a']--;
}for(int i = 0; i < n; i++) cout << ans[i];
cout << endl;

Part3 代码(C++)：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define ff first 
#define ss second 
using namespace std;
using PII = pair<int, char>; 
constexpr int N = 1e6 + 10; 
int n, m, sum; 
int ot[50], qs[50], is_use[N], st[50], cnt; 
PII q[50];
void solve() {string s; cin >> n >> s; cnt = 0;for(int i = 0; i <= 30; i ++ ) ot[i] = 0, st[i] = 0; for(int i = 0; i < n; i ++ ) ot[s[i] - 'a'] ++, is_use[i] = 0;for(int i = 0; i <= 30; i ++ ) if(ot[i]) q[++ cnt] = {ot[i], 'a' + i};sort(q + 1, q + 1 + cnt);for(int i = 1; i <= cnt; i ++ ) qs[i] = q[i].ff + qs[i - 1];int res = -1e18;vector<char> ans(n + 1, 0); int usu1,usu2;for(int c = 1; c <= n / c; c ++ ) if(n % c == 0) {int u1 = c, u2 = n / c;int l = 1, r = cnt, v; if(u1 <= 26) {while(l < r) {int mid = l + r >> 1;if(q[mid].ff >= u2) r = mid;else l = mid + 1;}v = -1e18;if(q[l].ff >= u2) {if(cnt - l + 1 >= u1) v = u1 * u2;else v = (cnt - l + 1) * u2 + qs[l - 1] - qs[max(0ll,l - 1 - (u1 - (cnt - l + 1)))];}else {v = qs[cnt] - qs[max(0ll,cnt - u1)];}if(res < v) {res = v;usu1 = u1, usu2 = u2;}}u1 = n / c, u2 = c;if(u1 <= 26) {l = 1, r = cnt;while(l < r) {int mid = l + r >> 1;if(q[mid].ff >= u2) r = mid;else l = mid + 1;}v = -1e18;if(q[l].ff >= u2) {if(cnt - l + 1 >= u1) v = u1 * u2;else v = (cnt - l + 1) * u2 + qs[l - 1] - qs[max(0ll,l - 1 - (u1 - (cnt - l + 1)))];}else {v = qs[cnt] - qs[max(0ll,cnt - u1)];}if(res < v) {res = v;usu1 = u1, usu2 = u2;}}}cout << n - res << endl; vector<char> us;for(int i = cnt; i >= max(1ll, cnt - usu1 + 1); i -- ) {us.push_back(q[i].ss), st[q[i].ss - 'a'] = usu2;  // cout << q[i].ss << endl;}for(int i = 0; i < n; i ++ ) if(st[s[i] - 'a']) { // cout << s[i] << endl;ans[i] = s[i], st[s[i] - 'a'] --, is_use[i] = 1;// cout << ans[i] <<  "#";}for(int i = max(1ll, cnt - usu1 + 1) - 1; i >= 1; i -- )us.push_back(q[i].ss), st[q[i].ss - 'a'] = usu2;  for(int i = 0; i <= 25; i ++ ) if(!ot[i]) us.push_back(i + 'a'), st[i] = usu2;  int l = 0;for(int i = 0; i < n; i ++ ) { while(!st[us[l] - 'a']) l ++; if(!is_use[i]) ans[i] = us[l], st[us[l] - 'a'] --;}for(int i = 0; i < n; i ++ ) cout << ans[i];cout << endl;
}   
signed main() {int ts; cin >> ts; while(ts --) solve(); return 0; 
}