文章目录
- 因子化简
- 题目背景
- 问题描述
- 输入格式
- 输出格式
- 样例输入
- 样例输出
- 样例解释
- 子任务
- 满分代码
- Java
- C++
- Python
- 线性筛法
因子化简
题目背景
质数(又称“素数”)是指在大于 1 的自然数中,除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。
问题描述
小 P 同学在学习了素数的概念后得知,任意的正整数 n n n 都可以唯一地表示为若干素因子相乘的形式。如果正整数 n n n 有 m m m 个不同的素数因子 p 1 , p 2 , ⋯ , p m p_1,p_2,\cdots,p_m p1,p2,⋯,pm,则可以表示为: n = p 1 t 1 × p 2 t 2 × ⋯ × p m t m n=p_1^{t_1}\times p_2^{t_2}\times\cdots\times p_m^{t_m} n=p1t1×p2t2×⋯×pmtm。
小 P 认为,每个素因子对应的指数 t i t_i ti 反映了该素因子对于 n n n 的重要程度。现设定一个阈值 k k k,如果某个素因子 p i p_i pi 对应的指数 t i t_i ti 小于 k k k,则认为该素因子不重要,可以将 p i t i p_i^{t_i} piti 项从 n n n 中除去;反之则将 p i t i p_i^{t_i} piti 项保留。最终刺余项的乘积就是 n n n 简化后的值,如果没有剩余项则认为简化后的值等于 1。
试编写程序处理 q q q 个查询:
- 每个查询包含两个正整数 n n n 和 k k k,要求计算按上述方法将 n n n 简化后的值。
输入格式
从标准输入读入数据。
输入共 q + 1 q+1 q+1 行。
输入第一行包含一个正整数 q q q,表示查询的个数。
接下来 q q q 行每行包含两个正整数 n n n 和 k k k,表示一个查询。
输出格式
输出到标准输出。
输出共 q q q 行。
每行输出一个正整数,表示对应查询的结果。
样例输入
3
2155895064 3
2 2
10000000000 10
样例输出
2238728
1
10000000000
样例解释
查询一:
- n = 2 3 × 3 2 × 2 3 4 × 107 n=2^3\times3^2\times23^4\times107 n=23×32×234×107
- 其中素因子 3 指数为 2, 107 指数为 1。将这两项从 n n n 中除去后,剩余项的乘积为 2 3 × 2 3 4 = 2238728 2^3\times23^4=2238728 23×234=2238728。
查询二:
- 所有项均被除去。输出 1。
查询三:
- 所有项均保留,将 n n n 原样输出。
子任务
40% 的测试数据满足: n ≤ 1000 n\leq1000 n≤1000;
80% 的测试数据满足: n ≤ 1 0 5 n\leq10^5 n≤105;
全部的测试数据满足 : 1 < n ≤ 1 0 10 :1<n\leq10^{10} :1<n≤1010 且 1 < k , q ≤ 10 1<k,q\leq10 1<k,q≤10。
满分代码
注意到: 对于 n n n,仅有一个最大素因子 m m m 可能大于 n \sqrt n n,也就是说我们只需要除去 2 ∼ n 2 \sim \sqrt n 2∼n 的素因子就可以得到 m m m,所以对于全部数据 n ≤ 1 0 10 n \leq 10^{10} n≤1010,我们只需要求出 2 ∼ 1 0 5 2 \sim 10^5 2∼105 中所有质数即可,直接用试除法,稍微优化一下时间复杂度也就 1 0 7 10^7 107,可以通过,如果数据 n ≤ 1 0 14 n\leq10^{14} n≤1014 就需要使用线性筛法了。
Java
import java.util.*;
import java.io.*;public class Main {static QuickInput in = new QuickInput();static PrintWriter out = new PrintWriter(new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out)));static int max = 100007;public static void main(String[] args) throws IOException {long q = in.nextLong();List<Integer> list = new ArrayList<>();for (int i = 2; i < max; i++) check(i, list);for (int i = 0; i < q; i++) {long n = in.nextLong(), k = in.nextLong();long ans = n;int[] cnt = new int[max];for (int j : list) {if (n == 1) break;while (n % j == 0) {n /= j;cnt[j]++;}}ans /= n;for (int j = 0; j < max; j++) {if (cnt[j] < k && cnt[j] != 0) {ans /= Math.pow(j, cnt[j]);}}out.println(ans);}out.flush();}static void check(int n, List<Integer> list) {for (int i : list) {if (i * i > n) break;if (n % i == 0) return;}list.add(n);}static class QuickInput {StreamTokenizer input = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));long nextLong() throws IOException {input.nextToken();return (long) input.nval;}}
}
C++
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int max_val = 1e5;void check(int n, vector<int>& list) {for (int i : list) {if (i * i > n) break;if (n % i == 0) return;}list.push_back(n);
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int max = max_val;long long q;cin >> q;vector<int> primeList;for (int i = 2; i < max; i++) {check(i, primeList);}for (int i = 0; i < q; i++) {long long n, k;cin >> n >> k;long long ans = n;vector<int> cnt(max_val, 0);for (int j : primeList) {if (n == 1) break;while (n % j == 0) {n /= j;cnt[j]++;}}ans /= n;for (int j = 0; j < max_val; j++) {if (cnt[j] < k && cnt[j] != 0) {ans /= pow(j, cnt[j]);}}cout << ans << endl;}return 0;
}
Python
max_val = 100000
primes = []
for i in range(2, max_val):if all(i % p != 0 for p in primes if p * p <= i):primes.append(i)q = int(input())
for _ in range(q):n, k = map(int, input().split())ans = ncnt = [0] * max_valfor prime in primes:while n % prime == 0:n //= primecnt[prime] += 1ans //= nfor prime, t in enumerate(cnt):if t < k and t != 0:ans //= pow(prime, t)print(ans)
线性筛法
max_val = 100000
is_prime = [True] * (max_val + 1)
primes = []for i in range(2, max_val + 1):if is_prime[i]:primes.append(i)for j in range(len(primes)):if i * primes[j] > max_val:breakis_prime[i * primes[j]] = Falseif i % primes[j] == 0:break