基础算法(二)

一 高精度计算

  int能表示范围为2^32,这看起来很大,但在大数据时代的如今,不说是int 哪怕是long long也是不够的,那么为了使用或计算这些超出或远超整形大小的数,我们这些数的计算方法称为高精度计算。

(1)高精度加法(A+B,A和B均为高精度)

  我们采用的方法是开两个数组A,B,然后用这两个数组来模拟两个大数之间的加法运算。代码实现要注意两个细节:
  ①实现过程中一定要保证A的长度大于B
  ②实现过程中注意数的存储顺序是从低位向高位,具体过程如下所示:
在这里插入图片描述
  代码如下所示:

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{if (A.size() < B.size()) return add(B, A);vector<int> C;int t = 0;//t用于表示进位for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ){t += A[i];if (i < B.size()) t += B[i];C.push_back(t % 10);t /= 10;}if (t!=0) C.push_back(t);//用于保存进位return C;
}

(2)高精度减法(满足A>B)

  思路和高精度加法基本一致,只是模拟的过程是减法而不是加法

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{vector<int> C;for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ){t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10);if (t < 0) t = 1;else t = 0;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去掉首位的所有0return C;
}

二 前缀和与差分

  这两种方法都是预处理方式,可以降低达到某种操作时间复杂度
  前缀和降低时间复杂度的代表操作为求某一个区间的和
  差分时间复杂度的代表操作为给区间内每一个数加上一个固定常数

(1)前缀和

  前缀和是一种重要的预处理,能大大降低查询的时间复杂度通常用于处理获取某一部分连续区间的问题。前缀和是以求和的方式灵活地面对区间询问。例如以下问题:
  给你一串长度为 n 的数列 a1, a2, a3, …, an,再给出 m 个询问,每次询问给出 L, R 两个数,要求给出区间 [L, R] 里的数的和。如果使用前缀和处理以后很容易可以得到
则上述题目的结果为 S [ L ] − S [ R − 1 ] 则上述题目的结果为S[L]-S[R-1] 则上述题目的结果为S[L]S[R1]
  时间复杂度显然降低

  ①一维前缀和(用于处理一维数组)

表达式为 S [ n ] = a 1 + a 2 + a 3 + . . . . a n 预处理递推公式为: S [ n ] = S [ n − 1 ] + a n 表达式为S[n]=a_1+a_2+a_3+....a_n\\预处理递推公式为:S[n]=S[n-1]+a_n 表达式为S[n]=a1+a2+a3+....an预处理递推公式为:S[n]=S[n1]+an
  ②二维前缀和(用于处理二维数组)
  二维前缀和的公式如下
二维前缀和表达式为: S [ x , y ] = ∑ i = 1 x ∑ i = 0 y a i j 预处理递推公式为: S [ x , y ] = S [ x − 1 , y ] + S [ x , y − 1 ] − S [ x − 1 , y − 1 ] + a x y 二维前缀和表达式为:S[x,y]=\sum_{i=1}^x\sum_{i=0}^ya_{ij}\\预处理递推公式为:\\S[x,y]=S[x-1,y]+S[x,y-1]-S[x-1,y-1]+a_{xy} 二维前缀和表达式为:S[x,y]=i=1xi=0yaij预处理递推公式为:S[x,y]=S[x1,y]+S[x,y1]S[x1,y1]+axy
  这个公式可以根据以下方法记忆:


  代码实现思路如下:
  (1)初始化所有的S[n][0],S[0][m](第一行与第一列)
  (2)根据递推公式推出所有的S[x][y]

(2)差分思想(也存在二维差分)

  差分:一个数列,如果知道第一个数,以及每一个数与前一个数的差值,那么我们就可以推出整个数列。前缀和与差分运算为互逆运算。差分数组d[n]的公式如下:
d [ i ] = { a [ i ] , i = 1 a [ i ] − a [ i − 1 ] , i > 1 d[i]=\left\{ \begin{aligned} a[i],i=1 \\ a[i]-a[i-1],i>1 \end{aligned} \right. d[i]={a[i],i=1a[i]a[i1],i>1
  所以可以推出公式:
a [ n ] = ∑ i = 1 n d [ i ] a[n]=\sum_{i=1}^nd[i] a[n]=i=1nd[i]
  下面介绍一个差分算法很重要的应用:给定区间[l ,r ],让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c , a[r] + c;
  暴力做法是for循环l到r区间,时间复杂度O(n),这个时候使用差分数组时间效率就大大提高了。根据差分的公式,可知道:
b [ n ] + = c , a [ i ] 全部都加 c b [ n ] − = c , a [ i ] 全部减去 c 以上两个式子都是在 i > = n 的时候成立 b[n]+=c,a[i]全部都加c\\b[n]-=c,a[i]全部减去c\\以上两个式子都是在i>=n的时候成立 b[n]+=c,a[i]全部都加cb[n]=c,a[i]全部减去c以上两个式子都是在i>=n的时候成立
  所以具体方法是:这样就不用暴力循环每个数都加上c,只需要构造根据数组a构造差分数组b,而后对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。要哪个数就进行b[n]数组的求和就行,从效果上看也达到了暴力做法的效果,但是只改了两个地方。

三 双指针算法

  双指针只能说是是算法中的一种技巧。双指针指的是在遍历对象的过程中,不是普通的使用单个指针进行访问,而是使用两个相同方向(快慢指针)或者相反方向(对撞指针)的指针进行扫描,从而达到相应的目的。
  双指针算法的核心思想就是运用某个性质,使用两个指针把时间复杂度优化。代码模板如下:

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
}

四 离散化

  离散化,把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去,以此提高算法的时空效率。通俗的说,离散化是在不改变数据相对大小的条件下,对数据进行相应的缩小。例如:
在这里插入图片描述
可以使用以下代码实现:思路就是使用二分查找找到对应下标。

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{int l = 0, r = alls.size() - 1;while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (alls[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1;}return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

五 位运算

  (1)判断正整数N的二进制表示的第k位数步骤:将N右移k-1位以后与1进行与运算,如下列公式所示:

                           N>>(k-1)&1

  (2)lowbit操作:返回N的最小的2的次方数
6 = ( 110 ) 2 = 2 2 + 2 1 , 则 6 的最后一位 1 就是( 10 )也就是 2 6=(110)_2=2^2+2^1,则6的最后一位1就是(10)也就是2 6=(110)2=22+21,6的最后一位1就是(10)也就是2
  代码如下

                                N&-N

  用这个代码可以判断N中1的个数,具体方法就是每执行一次lowbit操作得到N的最小的2的次方数,然后减去lowbit操作的返回值。而后再执行lowbit操作直到N等于0位置,N执行了多少次lowbit操作就有几个1
  原理如下:
我们知道计算机这种负数就是取反再加 1 , 设 N = ( 10110......10.....0 ) 2 , 则 − N = ( 01001......01.....1 ) 2 + 1 = ( 01001......10....0 ) 2 则上述代码的结果为 10.....0 , 就是 N 的最后一位 1 我们知道计算机这种负数就是取反再加1,\\设N=(10110......10.....0)_2,\\则-N=(01001......01.....1)_2+1=(01001......10....0)_2\\则上述代码的结果为10.....0,就是N的最后一位1 我们知道计算机这种负数就是取反再加1N=10110......10.....0)2,N=01001......01.....1)2+1=01001......10....0)2则上述代码的结果为10.....0,就是N的最后一位1

六 区间合并

  区间合并问题也是一个贪心问题,由于比较常用所以单独拿出来。区间合并的解决方法是:把所有区间按照左端点从小到大排序,如果遍历到区间和维护的区间有交集,就合并(能合则合),没有交集的时候,当前维护的区间就变成这个遍历到的区间

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