基础算法（二）

一高精度计算

int能表示范围为2^32，这看起来很大，但在大数据时代的如今，不说是int 哪怕是long long也是不够的，那么为了使用或计算这些超出或远超整形大小的数，我们这些数的计算方法称为高精度计算。

（1)高精度加法（A+B，A和B均为高精度）

我们采用的方法是开两个数组A，B，然后用这两个数组来模拟两个大数之间的加法运算。代码实现要注意两个细节：
①实现过程中一定要保证A的长度大于B
②实现过程中注意数的存储顺序是从低位向高位，具体过程如下所示：
在这里插入图片描述
代码如下所示：

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{if (A.size() < B.size()) return add(B, A);vector<int> C;int t = 0;//t用于表示进位for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ){t += A[i];if (i < B.size()) t += B[i];C.push_back(t % 10);t /= 10;}if (t!=0) C.push_back(t);//用于保存进位return C;
}

（2）高精度减法（满足A>B)

思路和高精度加法基本一致，只是模拟的过程是减法而不是加法

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{vector<int> C;for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ){t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10);if (t < 0) t = 1;else t = 0;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去掉首位的所有0return C;
}

二前缀和与差分

这两种方法都是预处理方式，可以降低达到某种操作的时间复杂度。
前缀和降低时间复杂度的代表操作为求某一个区间的和。
差分时间复杂度的代表操作为给区间内每一个数加上一个固定常数。

（1）前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。通常用于处理获取某一部分连续区间的问题。前缀和是以求和的方式灵活地面对区间询问。例如以下问题：
给你一串长度为 n 的数列 a1, a2, a3, …, an，再给出 m 个询问，每次询问给出 L, R 两个数，要求给出区间 [L, R] 里的数的和。如果使用前缀和处理以后很容易可以得到
$则上述题目的结果为 S [L] - S [R - 1]$
时间复杂度显然降低

①一维前缀和（用于处理一维数组）

$表达式为S[n]=a_1+a_2+a_3+....a_n\\预处理递推公式为：S[n]=S[n-1]+a_n$
②二维前缀和（用于处理二维数组）
二维前缀和的公式如下
$二维前缀和表达式为：S[x,y]=\sum_{i=1}^x\sum_{i=0}^ya_{ij}\\预处理递推公式为：\\S[x,y]=S[x-1,y]+S[x,y-1]-S[x-1,y-1]+a_{xy}$
这个公式可以根据以下方法记忆：

代码实现思路如下：
（1）初始化所有的S[n][0],S[0][m]（第一行与第一列）
（2）根据递推公式推出所有的S[x][y]

（2）差分思想（也存在二维差分）

差分：一个数列，如果知道第一个数，以及每一个数与前一个数的差值，那么我们就可以推出整个数列。前缀和与差分运算为互逆运算。差分数组d[n]的公式如下：
$d[i]=\left\{ \begin{aligned} a[i],i=1 \\ a[i]-a[i-1],i>1 \end{aligned} \right.$
所以可以推出公式：
$a[n]=\sum_{i=1}^nd[i]$
下面介绍一个差分算法很重要的应用：给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c , a[r] + c;
暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，这个时候使用差分数组时间效率就大大提高了。根据差分的公式，可知道：
$b[n]+=c,a[i]全部都加c\\b[n]-=c,a[i]全部减去c\\以上两个式子都是在i>=n的时候成立$
所以具体方法是：这样就不用暴力循环每个数都加上c，只需要构造根据数组a构造差分数组b，而后对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。要哪个数就进行b[n]数组的求和就行，从效果上看也达到了暴力做法的效果，但是只改了两个地方。

三双指针算法

双指针只能说是是算法中的一种技巧。双指针指的是在遍历对象的过程中，不是普通的使用单个指针进行访问，而是使用两个相同方向（快慢指针）或者相反方向（对撞指针）的指针进行扫描，从而达到相应的目的。
双指针算法的核心思想就是运用某个性质，使用两个指针把时间复杂度优化。代码模板如下：

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
}

四离散化

离散化，把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。例如：
在这里插入图片描述
可以使用以下代码实现：思路就是使用二分查找找到对应下标。

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{int l = 0, r = alls.size() - 1;while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (alls[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1;}return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

五位运算

（1）判断正整数N的二进制表示的第k位数步骤：将N右移k-1位以后与1进行与运算，如下列公式所示：

                           N>>(k-1)&1

(2)lowbit操作：返回N的最小的2的次方数。
$6=(110)_2=2^2+2^1,则6的最后一位1就是（10）也就是2$
代码如下

                                N&-N

用这个代码可以判断N中1的个数，具体方法就是每执行一次lowbit操作得到N的最小的2的次方数，然后减去lowbit操作的返回值。而后再执行lowbit操作直到N等于0位置，N执行了多少次lowbit操作就有几个1。
原理如下：
$我们知道计算机这种负数就是取反再加1，\\设N=（10110......10.....0)_2,\\则-N=（01001......01.....1)_2+1=（01001......10....0)_2\\则上述代码的结果为10.....0,就是N的最后一位1$