本文主要参考视频如下：

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仅供本人学习使用。

之前主要学习了三个概念：
极限；
无穷小；
连续；
先简单捋一捋。
极限是说函数的自变量趋近于某个数或者趋近于无穷时，函数值趋近于某个固定的常数；

当极限趋近于0时，就称这个函数是某个条件下的一个无穷小；

连续是说这个函数在定义域上没有间断点；

斜率

先复习下以前学过的斜率的概念。

斜率是个啥？

斜率，数学名词，又称“角系数”，一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向所成的角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率，反映直线对水平面的倾斜度。

如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故此直线不存在斜率（也可以说直线的斜率为无穷大）。当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像的斜率。

如下图直线的斜率：

对于过两个已知点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直线，若x1≠x2，则该直线的斜率为：

k=(y1-y2)/(x1-x2)。

直线的斜率可以通过坐标点的差值之比来计算，可是对于曲线上某点的切线来说，它只有一个点，我们并不能找到两个点来做差值。而且我们知道，只有一个点并不能唯一确定一条直线。

怎么办呢？

只有一个点，于是有人想，如果我在这个点的旁边再找一个点，那不就有两个点了，用极限的思维来考虑，当这个点越接近目标点时，就越能去逼近原来一个点的切线斜率，我们只要找出△y/△x在△x趋近于0时的极限值，就能得到原来那个点的切线斜率值了。

这个斜率有啥用？

曲线的上某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化的快慢程度。

导数

定义

备注：导数又被叫做微商。

看完定义就能发现，其实导数表达的就是切线斜率的意思！！！

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

导数就是单位增量、变化率、斜率。表现在物理学上是速度、加速度；经济学上是增长量，增速。等等。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

dy/dx这个式子的含义是什么呢？本来y/x很好理解，就是两个数相除，那前面加个d表示什么？我们知道，高等数学里常常会用极限来考虑问题，在y和x前面加个d，表示这两个值的微分状态，所表示的其实就是一种无限逼近的思想，也就是无限接近的极限概念。导数是以极限为基础定义的，没有极限也就没有导数。

将函数的导数以函数形式表示，可得到导函数。导函数常用记号为f'(x)、dy/dx或y'，其中y表示原函数。将x=x0带入导函数，可得到该点的导数，比如导数定义图中最后的几个式子。

别搞错了，导数是具体的极限值，是一个常数；导函数是所有点的导数所构成的一个函数。

简单说说历史

参考：“导数”到底有多重要？

导数到底是怎么回事呢？我们还得从遥远古代的“芝诺悖论”中的“飞矢不动”说起。

“飞矢不动悖论”是这样的：设想有一支飞行的箭，箭在飞行中的任何一个“时间点”都对应“空间”中的一个“特定的点”。也就是说，每个“时间点”所对应着的，都是静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，因而推出“运动是不存在”的。这些悖论就是人类的先行者关于“无穷”概念的最早的思想萌芽，它曾经长久地困扰着历代数学家。人们一谈及“无穷”的问题，甚至会有恐惧感，当人们面对“无穷”问题时，尽量采取回避的态度。

17世纪，由于生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，越来越多关于“无穷”的问题需要解决，人们迫切地需要新的数学工具来解决积压越来越多的难题，牛顿在前人的基础上，深入研究了“芝诺悖论”，提出了这样的问题：物体在某一时刻的“瞬时速度”到底是多少？ 

这是一个很难回答的问题，因为当时“物理学”只认识“平均速度”的概念，根本没有“瞬时速度”的说法。早期的物理学家普遍认为在“任何短时间内”都有一个“平均速度”，而某一点的“瞬时速度”为零，这就是造成“飞矢不动”悖论的根本原因。于是牛顿使用“极限”的概念来定义“瞬时速度”，然后用“变化率”的方式引入了“导数”的概念。

在今天，“飞矢不动”的悖论早已被破除，箭的“瞬时速度”已经可以通过用“微积分”的方法算出，“导数”的本质是通过“极限”的概念对“函数”进行“局部的线性逼近”。那么在“箭”的“运动”中，物体的“位移”对于“时间”的“导数”就是物体的“瞬时速度”，也就是说，在每一个“无穷小”的时间点上，都是有“速度”和“位移”的，因而“飞矢不动悖论”也就不存在了。

这就是“导数”的妙处，不但解决了千古难题，也已成为今天的“微积分”的一个重要的核心内容。

在今天，“导数”已经变得不再神秘。如果我们用通俗的话来描述，“导数”就是“曲线上某点切线”的“斜率”。如果说得全面一些，“导数”就是一种用来寻找“线性近似”的数学工具，或者说得更专业一点，“导数”就是“线性变换”。它所蕴含的是“微积分”最基本的数学思想“以直线代替曲线”，也就是用“切线”逼近的“曲线”，比如著名的“泰勒公式”、“洛比达定律”，都蕴含着这样的思想。

“导数”在物理，几何，代数中分别有着极为重要的作用，在几何中可求切线；在代数中可求“瞬时变化率”，在物理中可求“速度”、“加速度”等，对于“直线运动”而言，“位移”关于“时间”的“一阶导数”是“瞬时速度”，二阶导数是“加速度”，可以表示“曲线在一点”的“斜率”。

导数的两种定义式

这里的h表示就是一个△x 

二者是等价的，因为x->x0和(x - x0)->0是同一个意思。

单侧导数

导数的几何意义

 

从几何意义可知，导数可以用来求解切线方程和法线方程

法线（normal line），是指始终垂直于某平面的直线。在几何学中，法线指平面上垂直于曲线在某点的切线的一条线。

可导和连续的关系

导数的性质

函数的求导法则

基本求导公式

函数和、差、积、商的求导法则

反函数的求导法则

复合函数的求导法则

高阶导数

其实就是导函数再求导。

举个例子，位移对时间求导，可以得到瞬时速度，那么，再对瞬时速度求导，得到什么呢？瞬时速度的变化率就是加速度。

高阶导数的求法

分解法就是先化简再归纳。

n阶导表达式类似于一个数列通项，n取正整数，带入可分别求得原函数的导函数、二阶导、三阶导……

一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。

对任意n阶导数的计算，由于 n 不是确定值，自然不可能通过逐阶求导的方法计算。此外，对于固定阶导数的计算，当其阶数较高时也不可能逐阶计算。
所谓n阶导数的计算实际就是要设法求出以n为参数的导函数表达式。求n阶导数的参数表达式并没有一般的方法，最常用的方法是，先按导数计算法求出若干阶导数，再设法找出其间的规律性，并导出n的参数关系式。

莱布尼茨法则

莱布尼茨法则（Leibniz's rule）也被称为乘积法则，它是数学中的一个重要定律，用于确定两个函数乘积的导数。它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。