1. $t$ 分布

$t$ 分布作为 $t$ 检验的抽样分布出现。 令 $z_1,\cdots ,z_n$ 为 i.i.d，分布为 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，样本均值和样本方差分别为:
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+\cdots +X_n\right),S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2.$$
$t$-统计量定义为
$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{S^2/n}},$$
$T$ 有度为$n-1$的$t$-分布, 密度函数定义为
$$f(x)=\frac{\tau \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{(n-1)\pi }\tau \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)}^{-\frac{n}{2}}$$
其中$\tau (\cdot )$ 定义为$\tau (z)={\int }_0^{\infty }{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$，对于$z>0$.

2. 从$t$ 分布采样

如何从度为$(n-1)$的$t$-分布的随机量$Z$采样?

一个关于$T$的重要定理是
$$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n-1}}}$$
其中 $Z\sim N(0,1)$和$Y\sim {\chi }^2(n-1)$, 关于度为$n-1$的$\chi$-平方分布, 此外$Z$和$Y$独立。

• Sample a random quantity $Y$ from the distribution ${\chi }^2(n-1)$,
  • • Sample a random quantity $Z\sim N\left(0,\frac{Y}{n-1}\right)$
  • • Return $X=Z$.

3. Python编程实现

作业： 通过编程实现上述伪代码，生成1000个随机量，并绘制直方图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义自由度和样本数量
n = 10  # 自由度（可以根据需要更改）
sample_size = 1000  # 样本数量# 生成随机量chi_squared_samples = np.random.chisquare(df=n - 1, size=sample_size)
normal_samples = np.random.normal(loc=0, scale=np.sqrt(chi_squared_samples / (n - 1)), size=sample_size)# 绘制直方图
plt.hist(normal_samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b', label='Generated Samples')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.title('Histogram of Generated t-Distribution Samples')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()