0x03前缀和、差分

一维前缀和

数组前n项和

$s[k]={\sum }_{i=1}^{k}a[i]$

s[i]=s[i-1]+a[i];

二维前缀和

设s[i][j]表示以(1，1)为顶点，以(i，j)为右下角的矩形内部权值之和。

即：$s[n][m]={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}a[i][j]$

设a[i][j]为(i,j)点的权值。

那么s[i][j]可以表示为：

s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];

假如我们要求矩阵中 R x R 的矩形的权值和:

ans = s[i+R][j+R]-s[i-1][j+R]-s[i+R][j-1]+s[i-1][j-1];

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差分

差分<-------->原数组<------->前缀和

原数组是差分和前缀和的中转站。

一维差分

b[i]=a[i]-a[i-1]

显然，将b[i]累加起来就是a[i]

故有：

${\sum }_{i=1}^{j}b[i]=a[j]$

所以：

for(int i=1;i<=n;i++){b[i]+=b[i-1];
}

累加之后，b[i]就等于a[i].

故，如果我们需要对一个区间进行增减同一个数x的操作

只需要对这个区间的差分数组进行单点修改。

例如，我们需要将[2,5]内的元素全部都增加1

只需要让b[2]+1, b[6]-1 即可。

二维差分

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}b[i][j]=a[i][j]$

当我们要对一个矩阵中的某一块区域进行加减同一个数x的操作的时候：

例如，将如下这个区间所有元素加上1：

差分数组：

其实和一维差分差不多。

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习题

T1

99. 激光炸弹 - AcWing题库

普通的二维前缀和，如果为了节省空间的话，可以用前缀和数组和原数组公用一个数组。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5000+10;
typedef long long ll;
int sum[N][N] = { 0 };
int main() {ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);int n;int R;cin >> n >> R;R=min(5001,R);R--;memset(sum, 0, sizeof sum);for (int i = 1; i <= n; i++) {int x, y, v;cin >> x >> y >> v;x++;y++;sum[x][y] += v;}for (int i = 1; i <= 5000+1; i++) {for (int j = 1; j <= 5000+1; j++) {sum[i][j] += sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i-1][j-1];}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= 5000+1; i++) {for (int j = 1; j <= 5000+1; j++) {if(i+R>5001 or j+R>5001)continue;ans = max(ans, sum[i+R][j+R] - sum[i-1][j+R] - sum[i+R][j-1] + sum[i-1][j-1]); }}cout << ans;
}

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T2

100. 增减序列 - AcWing题库

差分的经典用途：将某一个区间[l,r]内的数增减同一个数x。

只需要在其差分数组上b[l] 减去1， b[r+1]加上1

所以只对其差分数组中的两个点进行修改。

理论上，如果一个序列中的所有的数是一样的话，那么其差分数组

除第一项以外，其余的都是0.

所以我们只需要修改 b[2]~b[n]中的任意两项，使b[2]~b[n]都为0

计算， b[2]~b[n]中，正数和p、负数和的绝对值q。然后取最小的抵消。此时剩下p-q

进行的操作是min(p,q)

然后剩下的数，与b[1]或b[n+1]进行操作。

1、如果b[1]有操作,那么b[1]只可能会被操作 1~p-q次

所以有 p-q种可能

2、如果b[1]无操作，说明p-q次操作都在b[n+1]上，那么有1种情况

总共就是p-q+1 种情况

总操作数：max(p,q)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define  ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr) 
#define lson pos<<1
#define rson (pos<<1)|1
const int N = 1e5+7;
typedef long long ll;
ll a[N];
ll b[N];
int main() {ios;int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];ll zsum=0;ll fsum=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(b[i]>0)zsum+=b[i];if(b[i]<0)fsum+=b[i];}fsum=-fsum;int ans=max(zsum,fsum);int bns=abs(zsum-fsum);cout<<ans<<endl<<bns+1;}

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T3

101. 最高的牛 - AcWing题库

差分的另一种运用，我们一开始假设这些牛一样高，

若 l、r 能互相看见，说明 l、r 之间的数都需要-1

然后最终的答案就是最大身高。

为了减少时间复杂度，我们用差分数组进行单点修改。

将a[l+1]-1, a[r]+1

然后求和，然后每一项+h即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define  ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr) 
const int N=5e3+7;
typedef long long ll;
map<pair<int,int>,int > mmp;int a[N];
int main() {ios;int n,p,h,m;cin>>n>>p>>h>>m;// for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=h;while(m--){int l,r;cin>>l>>r;if(l>r)swap(l,r);if(mmp[pair(l,r)]==0){mmp[pair(l,r)]++;a[l+1]--;a[r]++;}}for(int i=1;i<=n;i++){a[i]+=a[i-1];}for(int i=1;i<=n;i++){a[i]+=h;}for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<endl;
}