[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch01-2 完整定常系统——杆组RRR

本文仅供学习使用,总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结,从矢量的角度进行分析,方法比较传统,但更易理解,并且现有的看似抽象方法,两者本质上并无不同。
2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考:
《空间机构的分析与综合(上册)》-张启先,感谢张启先先生对机构学的卓越贡献,希望下册有见天明之日!
《高等机构学》-白师贤
《高等空间机构学》-黄真
《机构运动微分几何学分析与综合》-王德伦

食用方法
务必自己计算编写程序

机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-1-2 完整定常系统——杆组RRR

  • 1. RRR杆组
    • 1.1 公式推导
      • 1.1.1几何法
      • 1.1.2 公式推导——三角函数求解法
    • 1.2 程序说明
      • 1.2.1 输入变量
      • 1.2.2 输出变量
      • 1.2.3 哑元(中间变量)
      • 1.2.4 输入数据格式
      • 1.2.5 输出数据格式
      • 1.2.6 计算流程图
    • 1.3 程序算例
      • 1.3.1 四杆机构+单开链串联
      • 1.3.2 五杆机构——逆解
      • 1.3.3 双平行四边形——逆解
      • 1.3.4 七杆机构——优化求解


1. RRR杆组

1.1 公式推导

1.1.1几何法

下述公式中的投影参数都是基于坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}进行描述的

已知杆组RRR两端回转副位置参数: A : ( x A , y A ) , C : ( x C , y C ) A:(x_A,y_A),C:(x_C,y_C) A:(xA,yA),C:(xC,yC) ,求解中间回转副B位置参数(要求B点位置存在——满足三角形存在条件)
在这里插入图片描述
其中,AC长为: l A C = ( x C − x A ) 2 + ( y C − y A ) 2 l_{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} lAC=(xCxA)2+(yCyA)2 ,且有:
{ φ = a r c tan ⁡ ( z C − z A x C − x A ) ∈ ( − π 2 , π 2 ) d = l A C α 1 = a r c cos ⁡ ( l A B 2 + l A C 2 − l B C 2 2 l A B l A C ) ∈ ( 0 , π ) α 2 = a r c cos ⁡ ( l A B 2 + l B C 2 − l A C 2 2 l A B l B C ) ∈ ( 0 , π ) α 3 = a r c cos ⁡ ( l A C 2 + l B C 2 − l A B 2 2 l A C l B C ) ∈ ( 0 , π ) \left\{ \begin{array}{c} \varphi =\mathrm{arc}\tan \left( \frac{z_C-z_A}{x_C-x_A} \right) \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ d=l_{AC}\\ \alpha _1=\mathrm{arc}\cos \left( \frac{{l_{AB}}^2+{l_{AC}}^2-{l_{BC}}^2}{2l_{AB}l_{AC}} \right) \in (0,\pi )\\ \alpha _2=\mathrm{arc}\cos \left( \frac{{l_{AB}}^2+{l_{BC}}^2-{l_{AC}}^2}{2l_{AB}l_{BC}} \right) \in (0,\pi )\\ \alpha _3=\mathrm{arc}\cos \left( \frac{{l_{AC}}^2+{l_{BC}}^2-{l_{AB}}^2}{2l_{AC}l_{BC}} \right) \in (0,\pi )\\ \end{array} \right. φ=arctan(xCxAzCzA)(2π,2π)d=lACα1=arccos(2lABlAClAB2+lAC2lBC2)(0,π)α2=arccos(2lABlBClAB2+lBC2lAC2)(0,π)α3=arccos(2lAClBClAC2+lBC2lAB2)(0,π)
建立闭环矢量方程: R ⃗ F A + l ⃗ A B + l ⃗ B C = R ⃗ F C \vec{R}_{FA}+\vec{l}_{AB}+\vec{l}_{BC}=\vec{R}_{FC} R FA+l AB+l BC=R FC ,向固定坐标系基矢量投影,可得:
{ i ^ f : x A + l A B cos ⁡ θ A + l B C cos ⁡ θ B = x C j ^ f : y A + l A B sin ⁡ θ A + l B C sin ⁡ θ B = y C \left\{ \begin{array}{l} \hat{i}^f:x_A+l_{AB}\cos \theta _A+l_{BC}\cos \theta _B=x_C\\ \hat{j}^f:y_A+l_{AB}\sin \theta _A+l_{BC}\sin \theta _B=y_C\\ \end{array} \right. {i^f:xA+lABcosθA+lBCcosθB=xCj^f:yA+lABsinθA+lBCsinθB=yC
其中,位置参数 A : ( x A , y A ) , C : ( x C , y C ) A:(x_A,y_A),C:(x_C,y_C) A:(xA,yA),C:(xC,yC)已知 ,杆长 l A B , l B C l_{AB},l_{BC} lAB,lBC已知,求解可得:
θ A 1 = { φ + α 1 ( x C − x A ≥ 0 ) φ + α 1 + π ( x C − x A ≤ 0 ) , θ A 2 = { φ − α 1 ( x C − x A ≥ 0 ) φ − α 1 + π ( x C − x A ≤ 0 ) \theta _{A1}=\left\{ \begin{array}{c} \varphi +\alpha _1(x_C-x_A\ge 0)\\ \varphi +\alpha _1+\pi (x_C-x_A\le 0)\\ \end{array} \right. ,\theta _{A2}=\left\{ \begin{array}{c} \varphi -\alpha _1(x_C-x_A\ge 0)\\ \varphi -\alpha _1+\pi (x_C-x_A\le 0)\\ \end{array} \right. θA1={φ+α1(xCxA0)φ+α1+π(xCxA0),θA2={φα1(xCxA0)φα1+π(xCxA0)
θ B 1 = θ A 1 − π + α 2 , θ B 2 = θ A 2 − π − α 2 \theta _{B1}=\theta _{A1}-\pi +\alpha _2,\theta _{B2}=\theta _{A2}-\pi -\alpha _2 θB1=θA1π+α2,θB2=θA2πα2
则B点坐标为: ( x A + l A B cos ⁡ θ A , y A + l A B sin ⁡ θ A ) (x_A+l_{AB}\cos \theta _A,y_A+l_{AB}\sin \theta _A) (xA+lABcosθA,yA+lABsinθA)

  • 构件运动参数:
    将闭环矢量方程对时间 t t t 求导:
    {

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