二叉树及其相关例题

1.树

1.树的基本概念

2.结点之间的的关系描述（还是看上面的图）

3.结点之间的属性描述

4.有序树和无序树

5.森林

6.遍历顺序

1.前序遍历：从根结点——>根结点左子树——>根结点的右子树（中左右）

2.中序遍历：左子树——>根——>右子树（左中右）

3.后序遍历：左子树——>右子树——>根（左右中）

4.层序遍历：一层一层的去遍历

2.二叉树

1.二叉树的种类

(1)满二叉树:满二叉树的任意节点,要么度为0,要么度为2.换个说法即要么为叶子结点,要么同时具有左右分支

(2)完全二叉树:若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1至h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

(3)二叉搜索树：设立结点便于搜索，结点具有一定顺序，搜索一个结点的时间复杂度为O(log n) 级别

(4)平衡二叉搜索树：左子树和右子树的高度差的绝对值并不能大于1，其实上图也是一个平衡二叉搜索树

2.二叉树的存储方式

1.链式存储：用指针去指向下一个结点（这种情况用的最多）

2.线式存储：用一个数组来保存二叉树，用一个字符数组来保存二叉树，下标可以去代替指针

3.二叉树的遍历顺序

1.深度优先搜索（递归法和非递归法：迭代，都可以处理）

2.广度优先搜索：

3.总结

4.相关例题

第一题：美国血统

第二题：新二叉树

5.寄语：(写给每一个正在低谷期努力的人)

1.树

1.树的基本概念

树是有n个结点的有限集（一种递归定义的数据结构）

当n=0时，说明这个树是一个空树

当树不是空树时，有以下特征：

1.有且只有一个根节点

2.没有后继的结点是叶子结点（终端结点）

3.有后继的结点（除了根结点）都称之为分支结点（非终端结点）

4.除了根结点外，其余结点都有且仅有一个前驱

5.每个结点都有0个或者多个后继

子树的概念：子树的概念是相对于某一个结点而言的，子树也是树。

比如说，B延伸所形成的树就是A的子树，E延伸所形成的树，就是B的子树，所以说，子树没有绝对的概念，只不过是相对的

树的图解

2.结点之间的的关系描述（还是看上面的图）

1.祖先结点：相对于E来说上面的B,A都是祖先结点

2.父亲结点：即B，就是其上一个结点

3.孩子结点：即K，L指自己延伸出去的结点

4.兄弟结点;即F，指的是和自己来自于同一个结点的结点

5.堂兄弟结点：一般是GHIJ，有可能会将F加入进来

6.什么是两个结点之间的路径：从上面的结点到下面的结点的路径

7.什么是路径长度：就是判断经过了几条边

3.结点之间的属性描述

1.结点的层次（深度）：（默认从1开始，但是有可能也是0）从上往下数：如图所示

2.结点的高度：从下往上数；和深度相反，KML是高度为1，到A是高度为4

3.树的高度：总共几层；这里就是4

4.结点的度：有几个分支，比如说A的度就是3，B的度为2；

5.树的度：各结点度的最大值。比如说在下图就是3，各结点最大分支数就是3；’

4.有序树和无序树

有序树——从逻辑上看，树中的结点的各子树从左到右都是有次序的（有逻辑顺序），不能交换

比如说家谱的记录，在同一层，都是按出生先后来记录的，不能改变顺序

无序树——从逻辑上看，树中结点的各子树从左到右都是无次序的，可以交换

比如说中国行政区的列举，你先列举河北还是先列举山东，都是一样的无伤大雅，可以去改变顺序

所以说，一棵树到底是有序树还是无序树，主要看的就是这棵树存的是什么，是否结点的左右位置会反映某些逻辑关系

5.森林

森林是m棵互不相交的树的集合；

森林连上同一个根结点就是一棵树，当然了，允许有空树也就允许有空森林，当m=0的时候，这个森林就是一个空森林

6.遍历顺序

（因为二叉树的考频更高，所以这里的遍历顺序是以二叉树为模版的）

这里说的前，中，后序遍历其实底层逻辑就是递归，通过递归的方式遍历这棵树，这三种遍历方式都属于dfs（深度优先搜索），不了解的可以看这篇博客：第一周算法训练之深度优先搜索

1.前序遍历：从根结点——>根结点左子树——>根结点的右子树（中左右）

void qian(shu* root)//前序遍历
{if (root == NULL){return;}printf("%d ", root->data);qian(root->left);qian(root->right);
}

2.中序遍历：左子树——>根——>右子树（左中右）

void zhong(shu* root)//中序遍历
{if (root == NULL){return;}zhong(root->left);printf("%d ", root->data);zhong(root->right);
}

3.后序遍历：左子树——>右子树——>根（左右中）

void hou(shu* root)//后序遍历
{if (root == NULL){return;}hou(root->left);hou(root->right);printf("%d ", root->data);
}

总和代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>typedef struct tree//创建树的结构体
{int data;//树的代表的元素struct tree* left;//左指针struct tree* right;//右指针
} shu;// 新建结点
shu* jie(int x)
{shu* node = (shu*)malloc(sizeof(shu));node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}// 创建一个二叉树，返回根结点指针
shu* chuang()
{shu* node1 = jie(1);shu* node2 = jie(2);shu* node3 = jie(3);shu* node4 = jie(4);shu* node5 = jie(5);shu* node6 = jie(6);// 构建二叉树的关系node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return node1;
}// 前序遍历二叉树
void qian(shu* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%d ", root->data);qian(root->left);qian(root->right);
}// 中序遍历二叉树
void zhong(shu* root)
{if (root == NULL){return;}zhong(root->left);printf("%d ", root->data);zhong(root->right);
}// 后序遍历二叉树
void hou(shu* root)
{if (root == NULL){return;}hou(root->left);hou(root->right);printf("%d ", root->data);
}int main()
{shu* root = chuang();qian(root); // 前序遍历printf("\n");zhong(root); // 中序遍历printf("\n");hou(root); // 后序遍历printf("\n");return 0;
}

运行结果：

4.层序遍历：一层一层的去遍历

其实这种遍历方式就相当于bfs广度优先搜索，是需要依靠队列来实现的一种算法

void ceng(shu* root)//层序遍历
{Queue q; // 创建一个队列QueueInit(&q); // 初始化队列if (root) // 如果根节点存在QueuePush(&q, root); // 将根节点入队while (!QueueEmpty(&q)) // 当队列不为空时{shu* front = QueueFront(&q); // 获取队列的第一个元素（即树的结点）QueuePop(&q); // 将队列的第一个元素出队printf("%d ", front->data); // 打印出队的结点的数据if (front->left) // 如果左子节点存在QueuePush(&q, front->left); // 将左子节点入队if (front->right) // 如果右子节点存在QueuePush(&q, front->right); // 将右子节点入队}QueueDestory(&q); // 销毁队列
}

2.二叉树

1.二叉树的种类

(1)满二叉树:满二叉树的任意节点,要么度为0,要么度为2.换个说法即要么为叶子结点,要么同时具有左右分支

以下两个都是满二叉树

(2)完全二叉树:若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1至h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

（通俗来说就是除了底层以外，其它层都是满的（且从左到右需要连续）（这里主要看的就是p2与p3））

(3)二叉搜索树：设立结点便于搜索，结点具有一定顺序，搜索一个结点的时间复杂度为O(log n) 级别

（左子树的所有结点都小于根节点，右子树的所有结点都大于根结点）

(4)平衡二叉搜索树：左子树和右子树的高度差的绝对值并不能大于1，其实上图也是一个平衡二叉搜索树

2.二叉树的存储方式

1.链式存储：用指针去指向下一个结点（这种情况用的最多）

typedef struct tree//创建树的结构体
{int data;//树的代表的元素struct tree* left;//左指针struct tree* right;//右指针
} shu;

2.线式存储：用一个数组来保存二叉树，用一个字符数组来保存二叉树，下标可以去代替指针

假设数组第i个元素，2*i+1，代表左指针，2*i+2代表右指针。

ps：这种做法会非常局限一般不会用到。因为只适用于满二叉树，这就会让我们很被动，所以就不详细介绍了

3.二叉树的遍历顺序

1.深度优先搜索（递归法和非递归法：迭代，都可以处理）

包括前序遍历，中序遍历，后序遍历

（可以用栈去模拟递归，递归的实现本身就是用栈这种数据结构去实现的）

2.广度优先搜索：

包括层序遍历

3.总结

二叉树是一种基础的数据结构，我们应当去了解其分类，以及存储方式还有他的遍历顺序

同时我们也应当了解他的定义方式，要能够自己去定义一个二叉树，在二叉树章节中，我们会发现递归出现的频率非常高，所以在这里我也再次复习一下我们的递归三部曲

1.明白这个递归函数到底要干嘛，以及它的参数是什么

2.明白这个递归的结束条件

3.单层递归都需要去遍历哪些元素

4.相关例题

第一题：美国血统

题解：通过前序第一个可以确定根节点，然后在中序就可以判断出来左子树和右子树，然后一直递归，先调用左子树，将左子树的结点输出，在调用右子树，将右子树的结点输出，最后输出最后的根结点

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void dfs(string a,string b)
{if((int)b.size()==0)//如果前序遍历里的数组为空的话，说明遍历完了，该返回上一层了{return ;}int flag=a.find(b[0]);//找到根结点的坐标dfs(a.substr(0,flag),b.substr(1,flag));//遍历左子树dfs(a.substr(flag+1),b.substr(flag+1));//遍历右子树printf("%c",b[0]);//输出最后的根结点
}
int main()
{char x[30];//中序遍历char y[30];//前序遍历scanf("%s",x);scanf("%s",y);dfs(x,y);return 0;
}

第二题：新二叉树

题解：由于是顺序输出，且第一个就是根结点，我们只需要用深搜去一搜到底就可以，找出所有的情况，但是这个地方不需要回溯，只需要找出先后出现的就可以，所以在内部要先搜索左子树，再搜索右子树

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;char c[27][4];
void dfs(char t,int n)
{if(t=='*'){return ;}for(int i=0;i<n;i++){if(c[i][0]==t){printf("%c",t);dfs(c[i][1],n);//搜索左子树dfs(c[i][2],n);//搜索右子树}}
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%s",c[i]);}dfs(c[0][0],n);return 0;
}