1.简介

SABR模型是由 Hagan在 2002年提出的一种随机波动率模型，在抛弃了原始的BSM 模型中对于波动率为某一常数的假定，假设隐含波动率同样是符合几何布朗运动的，并且将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数，结合了隐含波动率修正模型的两种思路（随机波动率模型和局部波动率模型），更为准确的动态刻画出吻合市场特征的隐含波 动率曲线 SABR模型假设波动率是对数正态分布的，并且在定价方程里面加入了 CEV模型。这样使得模型估计的隐含波动率由两部分组成，一部分是 CEV 的可预测部分，而另一部分是在随机波动率模型中的随机的部分。

模型假设波动率本身也遵循一个无漂移项的几何布朗运动，而且和远期价格之间存在一定的相关性，其有如下一般动态过程：

有初始条件：F(0) = f ;  α(0) = 𝛼 ，标的物远期价格F 和波动率α都视为一个随机过程 其中，参数含义为：Sigma ：波动率初值 ，Beta：CEV 模型弹性项 ，Alpha：波动率的波动率参数 ，Rho ：几何布朗运动之间相关系数 β则决定了标的价格与平值隐含波动率的关系。当β—>1时，该随机模型接近对数正态，β—>0 时， 该随机模型则接近正态分布。

通过SABR模型，可以得到一个隐含波动率数值，进而可以带入到定价模型中计算得到期权的理论价格 如SABR模型的欧式期权价格由 BS 模型计算得到：

其中，σ为SABR模型计算得到的隐含波动率

SABR隐含波动率计算公式为：

参数β取值一般为(0,1)，需要进行拟合的参数主要有：

利用市场实际数据对模型参数进行校准，优化函数为：

2.模型参数数值分析

Alpha：标的资产波动率方程中的初始值，类波动率参数。控制标的资产波动率的初始值以及整个波动率微笑曲线的初始值。数值增加时，整体的波动率曲线向上移动，反之向下移动

Beta：决定了标的资产现货价格与平值期权波动率之间的关系，取值范围为[0,1]，取值=0.5时模型遵循CIR过程

Rho ：标的资产远期价格与波动率方程中随机项的相关系数，控制整个波动率曲线的斜度，数值越大曲线向逆时针方向选装的角度越大

volvol：波动率方程中的漂移项，可认为是波动率的波动率，用于描述波动率曲线的微笑程度，数值越大，隐含波动率曲线的微笑弧度越大

3.代码实践

部分代码如下：

class SABR_Model_Hagan2002:""" Hagan2002 SABR Model"""def __init__(self,F,K,T,vols,beta):self.F=Fself.K=Kself.T=Tself.vol=volsself.beta=betadef calibration_params(self):"""校准SABR模型参数alpha,rho,volvol"""def vol_square_error(x):vols=[calc_sabr_vol(K_,self.F,self.T,x[0],x[1],x[2],self.beta)*100 for K_ in self.K]return sum((vols-self.vol)**2)x0=np.array([0.01,0.00,0.10])bounds=[(0.0001,None),(-0.9999,0.9999),(0.0001,None)]res=minimize(vol_square_error,x0,method='L-BFGS-B',bounds=bounds)self.alpha,self.rho,self.volvol=res.xreturn [self.alpha,self.rho,self.volvol]