数据结构与算法教程，数据结构C语言版教程！（第六部分、数据结构树，树存储结构详解）三

第六部分、数据结构树，树存储结构详解

数据结构的树存储结构，常用于存储逻辑关系为 "一对多" 的数据。

树存储结构中，最常用的还是二叉树，本章就二叉树的存储结构、二叉树的前序、中序、后序以及层次遍历、线索二叉树、哈夫曼树等，详细介绍二叉树。

树是数据结构中的重点，同时更是难点，没有捷径，需要初学者静下心，死扣各个知识点。

五、由浅入深讲二叉树4种遍历算法的由来

遍历二叉树可以算作是对树存储结构做的最多的操作，既是重点，也是难点。本节将从初学者的角度给大家分析一下 4 种遍历二叉树算法的由来。

1、遍历二叉树的算法

图 1 二叉树示意图

图 1 是一棵二叉树，对于初学者而言，遍历这棵二叉树无非有以下两种方式。

（1）层次遍历

前面讲过，树是有层次的，拿图 1 来说，该二叉树的层次为 3。通过对树中各层的节点从左到右依次遍历，即可实现对正棵二叉树的遍历，此种方式称为层次遍历。

比如，对图 1 中二叉树进行层次遍历，遍历过程如图 2 所示：

图 2 层次遍历二叉树示意图

（2）普通遍历

其实，还有一种更普通的遍历二叉树的思想，即按照 "从上到下，从左到右" 的顺序遍历整棵二叉树。

还拿图 1 中的二叉树举例，其遍历过程如图 3 所示：

图 3 普通方式遍历二叉树

以上仅是从初学者的角度，对遍历二叉树的过程进行了分析。接下来我们从程序员的角度再对以上两种遍历方式进行剖析。

这里，我们要建立一个共识，即成功遍历二叉树的标志是能够成功访问到二叉树中所有的节点。

2、二叉树遍历算法再剖析

首先观察图 2 中的层次遍历，整个遍历过程只经过各个节点一次，因此在层次遍历过程，每经过一个节点，都必须立刻访问该节点，否则错失良机，后续无法再对其访问。

若对图 1 中二叉树进行层次遍历，则访问树中节点的次序为：

1 2 3 4 5 6 7

而普通遍历方式则不同，通过观察图 3 可以看到，整个遍历二叉树的过程中，每个节点都被经过了 3 次（虽然叶子节点看似只经过了 2 次，但实际上可以看做是 3 次）。以图 3 中的节点 2 为例，如图 4 所示，它被经过了 3 次。

图 4 遍历节点 2 的过程示意图

因此，在编程实现时，我们可以设定真正访问各个节点的时机，换句话说，我们既可以在第一次经过各节点时就执行访问程序，也可以在第二次经过各节点时访问，甚至可以在最后一次经过各节点时访问。

这也就引出了以下 3 种遍历二叉树的算法：

  1. 先序遍历：每遇到一个节点，先访问，然后再遍历其左右子树（对应图 4 中的 ①）；
  2. 中序遍历：第一次经过时不访问，等遍历完左子树之后再访问，然后遍历右子树（对应图 4 中的 ②）；
  3. 后序遍历：第一次和第二次经过时都不访问，等遍历完该节点的左右子树之后，最后访问该节点（对应图 4 中的 ③）；

以图 1 中的二叉树为例，其先序遍历算法访问节点的先后次序为：

1 2 4 5 3 6 7

中序遍历算法访问节点的次序为：

4 2 5 1 6 3 7

后序遍历访问节点的次序为：

4 5 2 6 7 3 1

以上就是二叉树 4 种遍历算法的由来，其各个算法的具体实现过程其代码实现后续章节会详解介绍。

六、二叉树先序遍历（递归与非递归）及C语言实现

二叉树先序遍历的实现思想是：

  1. 访问根节点；
  2. 访问当前节点的左子树；
  3. 若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树；

图 1 二叉树

以图  1 为例，采用先序遍历的思想遍历该二叉树的过程为：

  1. 访问该二叉树的根节点，找到 1；
  2. 访问节点 1 的左子树，找到节点 2；
  3. 访问节点 2 的左子树，找到节点 4；
  4. 由于访问节点 4 左子树失败，且也没有右子树，因此以节点 4 为根节点的子树遍历完成。但节点 2 还没有遍历其右子树，因此现在开始遍历，即访问节点 5；
  5. 由于节点 5 无左右子树，因此节点 5 遍历完成，并且由此以节点 2 为根节点的子树也遍历完成。现在回到节点 1 ，并开始遍历该节点的右子树，即访问节点 3；
  6. 访问节点 3 左子树，找到节点 6；
  7. 由于节点 6 无左右子树，因此节点 6 遍历完成，回到节点 3 并遍历其右子树，找到节点 7；
  8. 节点 7 无左右子树，因此以节点 3 为根节点的子树遍历完成，同时回归节点 1。由于节点 1 的左右子树全部遍历完成，因此整个二叉树遍历完成；

因此，图 1 中二叉树采用先序遍历得到的序列为：

1 2 4 5 3 6 7

1、递归实现

二叉树的先序遍历采用的是递归的思想，因此可以递归实现，其 C 语言实现代码为：

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define TElemType int

//构造结点的结构体

typedef struct BiTNode{

        TElemType data;//数据域

        struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针

}BiTNode,*BiTree;

//初始化树的函数

void CreateBiTree(BiTree *T){

        *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->data=1;

        (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->lchild->data=2;

        (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->lchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->lchild->rchild->data=5;

        (*T)->lchild->rchild->lchild=NULL;

        (*T)->lchild->rchild->rchild=NULL;

        (*T)->rchild->data=3;

        (*T)->rchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->rchild->lchild->data=6;

        (*T)->rchild->lchild->lchild=NULL;

        (*T)->rchild->lchild->rchild=NULL;

        (*T)->rchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->rchild->rchild->data=7;

        (*T)->rchild->rchild->lchild=NULL;

        (*T)->rchild->rchild->rchild=NULL;

        (*T)->lchild->lchild->data=4;

        (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;

        (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;

}

//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值

void displayElem(BiTNode* elem){

        printf("%d ",elem->data);

}

//先序遍历

void PreOrderTraverse(BiTree T){

        if (T) {

                displayElem(T);//调用操作结点数据的函数方法

                PreOrderTraverse(T->lchild);//访问该结点的左孩子

                PreOrderTraverse(T->rchild);//访问该结点的右孩子

        }

        //如果结点为空，返回上一层

        return;

}

int main() {

        BiTree Tree;

        CreateBiTree(&Tree);

        printf("先序遍历: \n");

        PreOrderTraverse(Tree);

}

运行结果：

先序遍历:
1 2 4 5 3 6 7

2、非递归实现

而递归的底层实现依靠的是栈存储结构，因此，二叉树的先序遍历既可以直接采用递归思想实现，也可以使用栈的存储结构模拟递归的思想实现，其 C 语言实现代码为：

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define TElemType int

int top=-1;//top变量时刻表示栈顶元素所在位置

//构造结点的结构体

typedef struct BiTNode{

        TElemType data;//数据域

        struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针

}BiTNode,*BiTree;

//初始化树的函数

void CreateBiTree(BiTree *T){

        *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->data=1;

        (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->lchild->data=2;

        (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->lchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->lchild->rchild->data=5;

        (*T)->lchild->rchild->lchild=NULL;

        (*T)->lchild->rchild->rchild=NULL;

        (*T)->rchild->data=3;

        (*T)->rchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->rchild->lchild->data=6;

        (*T)->rchild->lchild->lchild=NULL;

        (*T)->rchild->lchild->rchild=NULL;

        (*T)->rchild->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));

        (*T)->rchild->rchild->data=7;

        (*T)->rchild->rchild->lchild=NULL;

        (*T)->rchild->rchild->rchild=NULL;

        (*T)->lchild->lchild->data=4;

        (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;

        (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;

}

//前序遍历使用的进栈函数

void push(BiTNode** a,BiTNode* elem){

        a[++top]=elem;

}

//弹栈函数

void pop( ){

        if (top==-1) {

                return ;

        }

        top--;

}

//模拟操作结点元素的函数，输出结点本身的数值

void displayElem(BiTNode* elem){

        printf("%d ",elem->data);

}

//拿到栈顶元素

BiTNode* getTop(BiTNode**a){

        return a[top];

}

//先序遍历非递归算法

void PreOrderTraverse(BiTree Tree){

        BiTNode* a[20];//定义一个顺序栈

        BiTNode * p;//临时指针

        push(a, Tree);//根结点进栈

        while (top!=-1) {

                p=getTop(a);//取栈顶元素

                pop();//弹栈

                while (p) {

                        displayElem(p);//调用结点的操作函数

                        //如果该结点有右孩子，右孩子进栈

                        if (p->rchild) {

                                push(a,p->rchild);

                        }

                        p=p->lchild;//一直指向根结点最后一个左孩子

                }

        }

}

int main(){

        BiTree Tree;

        CreateBiTree(&Tree);

        printf("先序遍历: \n");

        PreOrderTraverse(Tree);

}

运行结果

先序遍历:
1 2 4 5 3 6 7

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