抽象方法

几年前，《泰晤士报文学增刊》的一篇评论在开篇写道：

已知0×0=0以及1x1=1，就可以得到：平方等于自身的数是存在的。但是再进一步，我们就可以得到：数是存在的。经过这简简单单朴实无华的一步，我们似乎就从一个基本的算术式得到了一个令人吃惊的、极具争议的哲学结论：数是存在的。你可能还以为这有多么困难呢。
A.W.莫尔评论杰罗尔德•J.卡茨《现实理性主义》
《泰晤士报文学增刊》，1998年9月11日

“数学家与哲学家的对立：为何数学家忽视数的存在问题？”

对于这个论证，我们可以从许多角度来批评，而且基本上不可能有人把它当真，包括评论人自己。然而，确实有哲学家在严肃地思考数是否存在这样的问题，而且正是这种思考使得他们不同于数学家——数学家理所当然地认为数就是存在的，不理解它何以能够成为一个问题。接下来的文章主要目的就是要解释，为什么数学家能够愉快地忽视这样一个看似非常基本的问题，甚至理应忽视它。

“超越物理形态：国际象棋中棋子的存在问题”

如果我们把同样的论证方法搬到国际象棋上来，这个“简简单单朴实无华”的关于数的存在的论证就明显荒谬了。已知象棋中的黑色国王有时可以斜向移动一格，由此得出，存在着可以斜向移动一格的棋子。但接下来将进而得出：国际象棋的棋子是存在的。当然了，我想说的并不是那句平平常常的断言：人们有时候会制造国际象棋的棋具。毕竟，没有棋具同样也能下棋。我所指的是一个更加“惊人”的哲学结论：象棋棋子的存在独立于它们的物理形态。

“象棋中的黑色国王：存在与作用的探讨”

在象棋中，黑色国王是什么呢？这是个奇怪的问题。最令人满意的处理方式似乎是，回避这个问题。除了指着棋盘，说明游戏的规则，我们还能做些什么呢？也许在这么做的同时会对黑色国王给予特别的关注？真正重要的问题并不是黑色国王的存在性或者它的本质属性，而是它在游戏中所发挥的作用。

“数学的抽象方法与语言哲学的关联：以态度为观点的探索”

人们所谓的数学中的抽象方法，正是我们采取类似态度来对待数学对象的结果。这种态度能够用这样一句话涵盖：数学对象是其所做。在语言哲学中，我们能发现类似的话经常出现，而且可能饱受争议。我们可以举出两个例子，比如索绪尔所说的“语言中只有差异”，还有维特根斯坦所说的“语词的意义是它在语育中的用法”。另外，我们还可以加上逻辑实证主义者的宣言，“陈述的意义就是其证实的方法。”如果你出于哲学方面的考虑，认为我的观点令人生厌，那你不妨不要将它看作一个教条式的断言，而是视为一种可供采纳的态度。实际上，我希望表明的是，要想正确地理解更高等的数学，采纳这种态度是至关重要的。

总结

这一系列对话涉及了数学的抽象方法、数的存在问题以及语言哲学的关联。首先，我们看到开篇引用了一个论证，试图通过简单的算术式来论证数的存在性。然而，这个论证在数学家眼中并不被当作一个问题，因为他们默认数就是存在的，而不认为这是一个需要解决的问题。接着，我们将注意力转向国际象棋中的棋子存在问题。与数学中的论证不同，这个论证被认为是荒谬的，因为棋子的存在与其物理形态无关，而是与游戏规则和功能相关。最后，我们涉及到数学的抽象方法与语言哲学的关联。抽象方法类似于对待数学对象的态度，其中语言哲学中出现的类似观点也常受争议。接受这种态度对于正确理解更高级的数学是至关重要的。