04 约数

定义：

若整数n除以整数d的余数为0，即d能够整除n，n是d的倍数，记作d|n.

通过质因子求一个数的约数

如果n可以表示成

$n={p_1}^{c_1}{p_2}^{c_2}......{p_k}^{c_k}$ 其中 $eq?p_1%20p_2%20p_3....p_k$ 均为n的质因子

因为对于任意一个质因子 $eq?p_i$ 都有选0个选1个选2个....选 $eq?c_i$ 个共 $c_i+1$ 种可能，

n的约数个数为

f(n)=( $eq?c_1$ +1)( $eq?c_2$ +1)......( $c_k$ +1)= $\prod_{i=1}^{k}(c_i+1)$

所有约数的和为：

$(p_1^0+p_1^1+p_1^2+...+p_1^{c_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2+...+p_2^{c_2})...(p_k^0+p_k^1+p_k^2+...+p_k^{c_k})=\prod_{i=1}^{k}(\sum_{j=0}^{c_i}p_i^{j})$

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N=1e6+10;int prime[N],idx;
bool st[N];
//线性筛求1-n的所有质数
void init(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]) prime[++idx]=i;for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++){st[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0) break;			}}
}
//nprime存所有的质数,cnt存质数的个数
int nprime[N],cnt[N],k; 
//枚举每一个质数及质数的个数求出所有的约数
void dfs(int i,int d){if(i>k){cout<<d<<" ";return;}int p=1;for(int j=0;j<=cnt[i];j++){dfs(i+1,d*p);p*=nprime[i];}
}
int main(){init(N-1);int n;cin>>n;//找到所有的质数及个数for(int i=1;prime[i]<=n;i++){int p=prime[i];if(n%p==0) nprime[++k]=p;while(n%p==0) cnt[k]++,n/=p;}int sum=1;//根据公式求解质数的个数for(int i=1;i<=k;i++){sum*=cnt[i]+1;}cout<<"约数的个数为"<<sum<<endl;long long mul=1;//根据公式求所有质数的和for(int i=1;i<=k;i++){sum=1;long long p=1;for(int j=1;j<=cnt[i];j++){p*=nprime[i];sum+=p;}mul*=sum;}cout<<"约数的和为:"<<mul<<endl;cout<<"约数分别是:";dfs(1,1);return 0;
}

通过试除法求一个数的约数

对于n的约数d≤ $\sqrt{n}$ ,那么n/d≥ $\sqrt{n}$ 也是n的约数，n的约数都是成对出现的，有一个≥ $\sqrt{n}$ 的就会有一个≤ $\sqrt{n}$ 的约数，对于完全平方数n， $\sqrt{n}$ 是单独出现的，其他都是成对出现的。

因此只要扫描1~ $\sqrt{n}$ 的所有数d，如果d能够整除n，那么就能找到两个约数d和n/d，时间复杂度为O( $\sqrt{n}$ )。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int n;
int factor[2000],idx;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n/i;i++){if(n%i==0){factor[++idx]=i;if(i!=n/i) factor[++idx]=n/i;}}//n的约数有idx个，约数都保存在factor中for(int i=1;i<=idx;i++) cout<<factor[i]<<" ";return 0;
}

试除法的推论： n的约数的个数上界为 $2\sqrt{n}$

通过倍数法求解数列的约数

对于一个1~n的序列在求解每个数的约数时，如果通过试除法复杂度O( $n\sqrt{n}$ )较高，观察到在求解每个数的约数时，都会重复枚举很多不是约数的数，如果我们只关注能够整除的约数，通过约数去找相应的数，而不是数去找约数，就会大大减少枚举的复杂度。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N=500010;vector<int> factor[N];int n;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n/i;j++){factor[i*j].push_back(i);}}for(int i=1;i<=n;i++){cout<<i<<":";for(auto p:factor[i]){cout<<p<<" ";}cout<<endl;}return 0;
}

时间复杂度为: O(n/1+n/2+n/3+....+n/n)=O(nlogn)

使用倍数法求解区间数的约数，待验证

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N=500010;vector<int> factor[N];int l,r;
int main(){cin>>l>>r;for(int i=1;i<=r/i;i++){int s=ceil(l*1.0/i)*i;for(int j=s;j<=r;j+=i){factor[j-l].push_back(i);factor[j-l].push_back(j/i);}}for(int i=0;i<=r-l;i++){cout<<i+l<<":";sort(factor[i].begin(),factor[i].end());for(int j=0;j<(int)factor[i].size();j++){if(j==0) cout<<factor[i][j]<<" ";else if(factor[i][j]!=factor[i][j-1]) cout<<factor[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;
}

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