【学习笔记】CF1349F2 Slime and Sequences (Hard Version)

多项式工业警告!!!

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思路来自 这位大佬 。

为什么这么好的题解没人评论。

Part 1

前置知识:拉格朗日反演(多项式复合),分式域(引入负整数次项)。

条件:有两个幂级数 F ( x ) , G ( x ) F(x),G(x) F(x),G(x),有 G ( F ( x ) ) = x G(F(x))=x G(F(x))=x,即 F , G F,G F,G互为复合逆。

F , G F,G F,G应常系数为 0 0 0 [ x 1 ] [x^1] [x1]系数非 0 0 0

首先引入分式域。对于无法求逆的整式 F ( x ) F(x) F(x),找出 G ( x ) = F ( x ) / x k G(x)=F(x)/x^k G(x)=F(x)/xk,则 1 F ( x ) = x − k 1 G ( x ) \frac{1}{F(x)}=x^{-k}\frac{1}{G(x)} F(x)1=xkG(x)1。这也说明了分式域下存在负指数(这通常在对整式求逆时出现)。注意,此时乘法卷积仍然是良定义。

引理:(默认 F ( x ) F(x) F(x)满足上述条件)
[ x − 1 ] F ′ ( x ) F ( x ) k = [ k = − 1 ] [x^{-1}]F'(x)F(x)^k=[k=-1] [x1]F(x)F(x)k=[k=1]

证明:当 k ≠ − 1 k\ne -1 k=1时左式可以看作 ( 1 k + 1 F ( x ) k + 1 ) ′ (\frac{1}{k+1}F(x)^{k+1})' (k+11F(x)k+1),而求导不可能产生 [ x − 1 ] [x^{-1}] [x1]项( ln ⁡ ( x ) \ln (x) ln(x)是例外,但是在 x = 0 x=0 x=0处无定义,所以不合法);当 k = − 1 k=-1 k=1时可以验证答案就是 1 1 1

扩展拉格朗日反演:
[ x n ] H ( G ( x ) ) = 1 n [ x n − 1 ] H ′ ( x ) ( x F ( x ) ) n [x^n]H(G(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)\left(\frac{x}{F(x)}\right)^n [xn]H(G(x))=n1[xn1]H(x)(F(x)x)n

另类扩展拉格朗日反演:

[ x n ] H ( G ( x ) ) = [ x n ] H ( x ) ( x F ( x ) ) n + 1 F ′ ( x ) [x^n]H(G(x))=[x^n]H(x)\left(\frac{x}{F(x)}\right)^{n+1}F'(x) [xn]H(G(x))=[xn]H(x)(F(x)x)n+1F(x)

懒得抄了,自己看command_block的博客吧

通常来讲, H ( x ) H(x) H(x)是自己构造的。求复合逆没有比较好的方法,一般要根据题目特殊性质来。一般来讲根据 H ( x ) H(x) H(x) F ( x ) F(x) F(x)谁的导函数比较简单来选取公式,并且显然我们也可以看出当 n = 0 n=0 n=0时只能选后面那一种公式。

比较经典的应用是有标号有根树计数

Part 2

咕了。自己看大佬写的题解吧。感觉肯定比我写得好。

代码:

//我还真写了,居然能过。

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