注:书中对代码的讲解并不详细,本文对很多细节做了详细注释。另外,书上的源代码是在Jupyter Notebook上运行的,较为分散,本文将代码集中起来,并加以完善,全部用vscode在python 3.9.18下测试通过。
Chapter3 Linear Neural Networks
3.7 Concise Implementations of Softmax Regression
从计算角度来看,指数可能会造成数值稳定性问题。softmax函数 y ^ j = exp ( o j ) ∑ k exp ( o k ) \hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)} y^j=∑kexp(ok)exp(oj),其中 y ^ j \hat y_j y^j是预测的概率分布, o j o_j oj是未规范化的预测 o \mathbf{o} o的第 j j j个元素。如果 o k o_k ok中的一些数值非常大,那么 exp ( o k ) \exp(o_k) exp(ok)可能大于数据类型容许的最大数字,即上溢(overflow)。这将使分母或分子变为inf
(无穷大),最后得到的是0、inf
或nan
(不是数字)的 y ^ j \hat y_j y^j。在这些情况下,我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。
解决这个问题的一个技巧是:在继续softmax计算之前,先从所有 o k o_k ok中减去 max ( o k ) \max(o_k) max(ok)。这里可以看到每个 o k o_k ok按常数进行的移动不会改变softmax的返回值:
y ^ j = exp ( o j − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) = exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) . \begin{aligned} \hat y_j & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\ & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}. \end{aligned} y^j=∑kexp(ok−max(ok))exp(max(ok))exp(oj−max(ok))exp(max(ok))=∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)).
在减法和规范化步骤之后,可能有些 o j − max ( o k ) o_j - \max(o_k) oj−max(ok)具有较大的负值。由于精度受限, exp ( o j − max ( o k ) ) \exp(o_j - \max(o_k)) exp(oj−max(ok))将有接近零的值,即下溢(underflow)。
这些值可能会四舍五入为零,使 y ^ j \hat y_j y^j为零,
并且使得 log ( y ^ j ) \log(\hat y_j) log(y^j)的值为-inf
。
反向传播几步后,我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan
结果。
尽管我们要计算指数函数,但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起,可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示,我们避免计算 exp ( o j − max ( o k ) ) \exp(o_j - \max(o_k)) exp(oj−max(ok)),而可以直接使用 o j − max ( o k ) o_j - \max(o_k) oj−max(ok),因为 log ( exp ( ⋅ ) ) \log(\exp(\cdot)) log(exp(⋅))被抵消了。
log ( y ^ j ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = o j − max ( o k ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) . \begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\ & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}. \end{aligned} log(y^j)=log(∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)))=log(exp(oj−max(ok)))−log(k∑exp(ok−max(ok)))=oj−max(ok)−log(k∑exp(ok−max(ok))).
本节代码如下:
import torch
from torch import nn
import matplotlib.pyplot as plt
from d2l import torch as d2l#初始化
batch_size=256
train_iter,test_iter=d2l.load_data_fashion_mnist(32)#PyTorch不会隐式地调整输入的形状,因此我们在线性层前定义了展平层(flatten),来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)#仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重#对神经网络net的每一层执行权重初始化
net.apply(init_weights)
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
#如果reduction='none',会返回一个损失向量,每个元素是对应样本的损失。如果reduction='mean'(默认值),会返回损失的平均值。如果reduction='sum',会返回损失的总和。
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
plt.show()