Acwing 897. 最长公共子序列 (每日一题)

最长公共子序列

题目描述

给定两个长度分别为 N 和 M 的字符串 A 和 B,求既是 A 的子序列又是 B 的子序列的字符串长度最长是多少。
输入格式

第一行包含两个整数 N和 M。

第二行包含一个长度为 N 的字符串,表示字符串 A。

第三行包含一个长度为 M 的字符串,表示字符串 B。

字符串均由小写字母构成。
输出格式

输出一个整数,表示最大长度。
数据范围

1≤N,M≤1000

输入样例:

4 5
acbd
abedc

输出样例:

3

状态表示:

集合:所有从A[1,i] B[1,j]的公共子序列的集合

属性max

像最长上升子序列,状态的划分依据是找不同的点。最长上升子序列确定以a[i]为结尾的子序列,共同点便是以a[i]作为结尾。划分依据:a[1,i-1]中的每个数作为最后一个不同点进行划分**
有没有发现:

DP基操:

1.找不同和相同之处/不同和固定之处
2.结合定义出发!
最长公共子序列的不同点在于i,j在不在序列中,可以将集合划分为4类。
实际上只有3类,且往下看。
(1)i、j 均不在

i、j均不包含其中,那只能从a[i-1]、b[j-1]中去选
得到如下状态转移方程:
f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − 1 ] f[i][j]=f[i-1][j-1] f[i][j]=f[i1][j1]
(2)
i不在,
j

i不在序列中,只能从前i-1中选,j可在可不在

刚好i不在,j在,包含在这种情况中且最大值/最小值是可以允许重复的
得到如下状态转移方程:
f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]=f[i-1][j] f[i][j]=f[i1][j]
(3)i在,j不在

j不在序列中,那j只能从j-1中选择。i可在可不在

刚好**i在,j**不在,包含在这种情况中,且最大值/最小值是可以允许重复的。
得到如下状态转移方程:
f [ i ] [ j ] = f [ i ] [ j − 1 ] f[i][j]=f[i][j-1] f[i][j]=f[i][j1]

(4)i、j均在

只有满足**a[i]==b[j]这一条件才存在。

确定了**a[i]、b[j]之后,剩下的从i-1、j-1中选出最长公共子序列,从定义出发,恰好就是f[i-1][j-1]中选。最后再加上固定好的a[i]、b[j]这一对即可。
得到如下状态转移方程:
f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 f[i][j]=f[i1][j1]+1
最后,
(1)是既可以包含在(2)也可以包含在(3)中的,允许最值重复重复没关系,求出的必定是最值且包含在整个集合中,是合法的。最后,总共只有3种情况。

求和/求值则不允许重复!!!

Accode

import java.util.*;
public class Main{static int N=1010;static int f[][]=new int[N][N];public static void main(String []args){Scanner sc=new Scanner(System.in);int n=sc.nextInt();int m=sc.nextInt();char a[]=(" "+sc.next()).toCharArray();char b[]=(" "+sc.next()).toCharArray();for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){//情况1包含在情况2、3中//情况2、3取一个maxf[i][j]=Math.max(f[i-1][j],f[i][j-1]);//满足a[i]==b[j]这一条件//再与情况4取一个maxif(a[i]==b[j])f[i][j]=Math.max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);}}//输出集合定义System.out.println(f[n][m]);    }
}

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