[ACM学习]自上而下树形dp

问题引入

设置dp状态，相比于更容易出错的贪心更...不易出错。

状态设计

如果选择父结点，就会使孩子结点不能被选择，我们会多开一维的dp，用来标记该点是否被标记过。

以1点举例，f[1][0]为不选它的状态，那么它的子结点2 3 是可选可不选的，所以是 max(f[2][0],f[2][1])+max(f[3][0]+f[3][1]) ，在子结点的两个状态里挑最大值，并且子结点间没有限制，所以直接相加。

f[1][1]=f[2][0]+f[3][0]

所以这题的总体思路是：从叶子结点开始，dp[v][0]=0 dp[v][1]=a_v，并且到达根。

最后结果在 dp[root][0] dp[root][0]里挑一个max

void dfs(int u, int fa)
{for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nex){int v = edge[i].to;if (v != fa)continue;dfs(v, u);f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1]);f[u][1] += f[v][0];}return ;
}

在这里解释一下自上而上：父结点的状态转移方程是会受到孩子状态值的影响。算法进行的方向还是从叶子计算到根。

问题二

状态设计

二维可以解决，将是否选择这个点并入体积里（选了这个点即为多这个点的体积）

状态转移是什么样的？可以把一个子树的几个孩子看成是几个物品，用类似于背包问题进行状态转移。

当前结点u在体积v1下，由体积v1-v2下加上某一孩子的v2体积下价值与它原来的值进行大小对比。所以我们会对v1 v2进行枚举。

虽然我们类比了01背包，但是和01背包问题相比，某一个子树的体积不是某个定值，而是会从0到最大限度进行枚举。

void dfs(int u, int fa)
{memset(f[u], -0x3f, sizeof f[u]);if (v[u] <= V)f[u][v[u]] = w[u];  //把当前结点放进去，以u为根的子树里，还只放入了结点ufor (int i = head[u]; i; i = edge[i].nex)   //枚举每一个子树{int v = edge[i].to;if (v == fa)continue;dfs(v, u);  //从叶子开始，//，每个孩子结点看成不同的物品，进行01背包vector<int> nf(f[u], f[u] + V + 1);  //当前子树的背包过程，用来转移for (int v1 = 0; v1 <= V; v1 ++)   //含义：在放入这个子树前，已使用的体积{for (int v2 = 0; v1 + v2 <= V; v2 ++ )  //放入v2后不能超过V{nf[v1 + v2] = max(nf[v1 + v2], f[u][v1] + f[v][v2]);}}for (int v = 0; v <= V; v ++ )f[u][v] = nf[v];}return ;
}