决斗 题解

赛题来自 OIFHA 第四场模拟赛。

原题展现

青蛙哥与名侦探柯南正在进行一场对决。

他们两个人每人有 $n$ 张牌，每张牌有一个点数。

并且在接下来的 $n$ 个回合中每回合青蛙哥与名侦探柯南两人会各自打出一张牌。

每回合裁判会检查，打出的牌点数更高的一方获胜从而得到一分，如果二人点数相同，则不得分。

然而现在青蛙哥通过偷看的方法得到了名侦探柯南的出牌顺序，他可以任意定一个自己的出牌的顺序。

他首先希望让自己的得分尽可能高，然后就是希望在让自己的得分尽可能高这个前提下，最大化自己从第一回合开始到最后一个回合结束过程中，每回合出牌点数构成的字符串的字典序。

数据范围：$n,a_i\le 10^5$。

Solution

首先假设我们已经得知青蛙最高得分是多少。

对于第 $i$ 回合，考虑让不让青蛙在这个回合赢。

如果赢的话，可以取最大的 $b_j$，也可以取只比 $a_i$ 大一点的 $b_j$。

如果不让他赢，可以取最小的 $b_j$，也可以取只比 $a_i$ 小一点的 $b_j$。

可见，让青蛙在这个回合赢或输，可取的值都是一个 $[l,r]$ 区间。题目要求字典序最大，而我们也不能直接确定青蛙在这个区间取多少时字典序最大。所以这里需要二分答案。

至于一开始的假设：“已经得知最高得分”，这个怎么实现呢？

可以考虑维护一棵权值线段树，每个节点都是一个三元组 $(s,s_1,s_2)$。分别表示：青蛙哥的得分，柯南的牌数，青蛙的牌数。

在合并区间的时候，肯定是拿青蛙点数大的牌去对抗柯南点数小的牌。得分就是 tr[rt].s=tr[lson].s+tr[rson].s+k，其中 k=min(tr[lson].s1,tr[rson].s2)。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}V)$，$V$ 是值域。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long long
#define ls rt<<1
#define rs ls|1const int MAXN=1e5+5,m=1e5;int n;
int a[MAXN],b[MAXN];
struct tree
{int s,s1,s2;
}tr[MAXN<<2];
multiset<int> s;void pushup(int rt)
{int minz=min(tr[ls].s1,tr[rs].s2);tr[rt].s=tr[ls].s+tr[rs].s+minz;tr[rt].s1=tr[ls].s1+tr[rs].s1-minz;tr[rt].s2=tr[ls].s2+tr[rs].s2-minz;
}void update(int rt,int l,int r,int x,int v1,int v2)
{if(l==r){tr[rt].s1+=v1;tr[rt].s2+=v2;return;}int mid=l+r>>1;if(x<=mid) update(ls,l,mid,x,v1,v2);else update(rs,mid+1,r,x,v1,v2);pushup(rt);
}signed main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i]),s.insert(b[i]);for(int i=1;i<=n;i++)update(1,1,m,a[i],1,0),update(1,1,m,b[i],0,1);int cnt=tr[1].s;for(int i=1;i<=n;i++){update(1,1,m,a[i],-1,0);int l=a[i]+1,r=*s.rbegin(),mid,ans;while (l<=r){mid=l+r>>1;update(1,1,m,mid,0,-1);if(tr[1].s+1==cnt) l=mid+1,ans=mid;else r=mid-1;update(1,1,m,mid,0,1);}update(1,1,m,ans,0,-1);if(a[i]<*s.rbegin()&&tr[1].s+1==cnt){--cnt;printf("%lld ",ans);s.erase(s.find(ans));}else{update(1,1,m,ans,0,1);l=1,r=a[i],ans=l;while (l<=r){mid=l+r>>1;update(1,1,m,mid,0,-1);if(tr[1].s==cnt) l=mid+1,ans=mid;else r=mid-1;update(1,1,m,mid,0,1);}update(1,1,m,ans,0,-1);printf("%lld ",ans);s.erase(s.find(ans));}}return 0;
}