【射影几何02-补】极点和极线,调和点列

一、说明

   极点和极线(Pole and polar)对于几何学,是普遍的概念。可能高中就学过,问题是在双曲几何又用到这个概念。前面已经有写过一文,经过再次学习,逐渐感觉前文描述不很理想,这一文专门纠正前文的不足点。
前文地址是:【双曲几何学 02】什么是极点和极线?
参考文:【射影几何09】交比定律和迪萨格定律

二、基本概念

   【 在几何学中,极点和极线分别是相对于给定圆锥截面具有唯一倒数关系的点和线】。这话听起来很吃力,那么,我们从圆开始一点点理解吧。

2.1 圆的极点和极线

2.2.1 圆外极点

   给定圆O,和圆外一个点P,从P做圆O的切线,此种切线能做出两条,它们分别分别与圆O相切于M、N两个点,此时,P是相对于圆O的极点(pole)而MN是伴随极点P的极线。
  显然, O P ⊥ M N OP\bot MN OPMN,因此, P P P M N MN MN是一个对偶。记为 P ⊥ = M N P^{\bot}=MN P=MN或反之 M N ⊥ = P MN^{\bot}=P MN=P
在这里插入图片描述

2.1.2 特殊位置极点

   下面尝试两个特殊位置的极点和极线。
   1)极点P恰好落在圆上:
   2)极点P落在圆内部:
在这里插入图片描述
   以上两种情况如何确定极线?我们下一章将继续探讨。

2.2 圆锥曲线的极点

   在其它的圆锥曲线上,极点和极线定义完全雷同,事实上,因为椭圆、双曲都是圆在另一个平面的投影,因此,不必关注其它圆锥线,只要在圆上讨论其中性质,然后做一个投影,就能将原理和结论翻转到对应圆锥曲线中。
在这里插入图片描述
   然而,上图显出,在圆上的属性,有些无法和椭圆上一致,比如,在圆上MN和OP垂直,在椭圆上未必;在圆和椭圆上,有什么极点和极线的属性使得在圆和椭圆上均能成立呢?让我们继续下文的讨论。

三、极点的属性

3.1 调和点列

   不在圆上的一点P,作直线l交圆于M、N两点,则在L上有且只有一点Q,使得交比(MN,QP)=-1(即M、N、Q、P 构成一调和点列)。当改变L的倾角,绕着P旋转发出直线和RS相交Q时,Q点与其它三点构成调和序列,RS即P的极线。或者表述成:Q点要想构成调和,其轨迹必须在RS上。
在这里插入图片描述

3.2 调和点列和交比点列的关系

   首先说,调和点列就是一个交比点列。为了清除表达和便以记忆,我们这里专门给出一段陈述。
1)交比点列
一般地,将交比点列(A,B;C,D)中,AB定义成基点,CD定义成分点,那么交比是:
λ 1 = A C C B \lambda1 =\frac{AC}{CB} λ1=CBAC
λ 2 = A D D B \lambda2 =\frac{AD}{DB} λ2=DBAD
( A , B ; C , D ) = λ 1 λ 2 (A,B;C,D)=\frac{ \lambda1}{ \lambda2 } ABCD=λ2λ1
对应图为:
在这里插入图片描述

   这里显然,CD作为两个分点,都在基点AB的外侧。
   如果出现下列情况,分点C在AB内测,而D在AB外测,于是:
在这里插入图片描述
那么交比是:
λ 1 = A C C B \lambda1 =\frac{AC}{CB} λ1=CBAC
λ 2 = A D D B \lambda2 =\frac{AD}{DB} λ2=DBAD
( A , B ; C , D ) = λ 1 λ 2 = − 1 (A,B;C,D)=\frac{ \lambda1}{ \lambda2 }=-1 ABCD=λ2λ1=1
   那么,(A,B;C,D)就构成调和点列。

3.3 通过作图找到极线

   以上叙事中,我们在头脑里很容易构建P极点和极线的概念,然而,在作图中,无法清晰构建极线,因为极线的切点无法清楚给出。下文中,我们将清楚告诉大家,对于任意极点,极线如何找出。(这里我们先不引出证明,证明部分在后文给出)
在这里插入图片描述
如上图,从极点P,向圆O发出两条射线,交圆于【α,β】点,和【γ,Π】点,使得【α,β,Π,γ】构成四边形,延长四边形的边【α,γ】和【β,Π】它们交于S点;做四边形对角线【α, Π 】和【 β, γ】交于R点,那么,R和S的连线,就和P的极线MN重合。

  • 注意:我们这里陈述一个做图事实,并不去证明其合理性。
  • P发出的射线与该射线角度无关,只要能与圆相交就可以。

3.3 极点在圆内,如何找到极线?

   如果P是极点,并且在圆内,如何按照上文方法找出P对应极线?
首先,过P做圆O的两条弦【α,γ】和【 β,Π 】此四点构成圆O内接四边形。分别延长线段【α,β】和线段【γ,Π】交于N,同理延长【α, Π 】和【 β, γ】交于M,此M和N的连线就是P点的极线。

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四、后记

   该文只是解释了相关知识和概念,对于证明,我们将在后续系列文章中给出。

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