二叉树的基础概念及遍历

二叉树(Binary Tree)的基础

1、树的概念

1、树的概念

树是一种非线性的数据结构,是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合,将它称为树,是因为在形状上像一颗倒着的树,如下图所示就是一颗二叉树。
在这里插入图片描述
可以发现,对于树中的根节点,没有前驱节点,有多个后驱节点;对于其他节点,有一个前驱节点,有或没有后驱节点。这就是它属于非线性结构的原因,节点的对应关系是一对多并且子树之间不相交,可以用此特点来判断树与非树。

2、树元素的基本概念

结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度
树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度
叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点
双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点;
孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点
根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点
树的高度或深度:树中结点的最大层次

3、树的表示形式

我们可以发现,如果要构建出这个结点,必须要有三部分:结点的值、结点的左孩子引用、结点的右孩子引用。我们可以借助类来实现结点的实例化。

class TreeNode {public int val;//结点的值public TreeNode left;//结点的左孩子引用public TreeNode right;//结点的右孩子引用
}

2、二叉树

1、二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

  1. 或者为空
  2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
    二叉树

从二叉树的概念中我们可以发现:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

2、特殊的二叉树

1、满二叉树:每层的结点数都达到最大值的二叉树,结点总数为2^k-1
2. 完全二叉树:从左到右,从上到下给二叉树的结点编号遍历,如果二叉树在遇到空结点之后的结点都为空,就是完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的一种特例。
在这里插入图片描述

3、二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
  2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
  3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
    若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
    若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
    若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子

4、二叉树的遍历

二叉树的遍历常常采用递归解决,原因是每一个结点的结构相同,处理每一个结点的方式相同,因此可以使用递归来解决重复的子问题。

1、前序遍历

前序遍历的顺序为根节点-左孩子结点-右孩子结点。其中对于左孩子结点也使用相同的遍历顺序,直到遇见空结点为止。利用下图进行举例。
#表示空结点在这里插入图片描述
A-B-D-#,遇到空结点,递进过程结束,回归开始。回到D向右树继续递进,D-#,遇到空结点,递进过程结束,回归开始。回到B向右树继续递进,B-#,遇到空结点,递进过程结束,回归开始。回到A向右树继续递进…
所以前序遍历的结果为:ABDCE

2、中序遍历

中序遍历的顺序为左孩子结点-根节点-右孩子结点在这里插入图片描述
对于A,先遍历B,对于B先遍历D,D-B-A;对于C,先遍历E,A-E-C
所以中序遍历的结果为:DBAEC

3、后序遍历

后序遍历的顺序为左孩子结点-右孩子结点-根节点
在这里插入图片描述
对于A,先遍历B,对于B,先遍历D,D-B;再遍历C,对于C,先遍历E,E-C
所以后序遍历的结果为:DBECA

三种遍历代码实现(递归)

//前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {if(root==null) {return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {if(root==null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {if(root==null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");
}

三种递归方式实质上都是利用了子问题的思想,将左右孩子拆出来作为新的树,利用同样的方式处理,十分容易理解。

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