2018年认证杯SPSSPRO杯数学建模
D题 投篮的最佳出手点
原题再现：
影响投篮命中率的因素不仅仅有出手角度、球感、出手速度，还有出手点的选择。规范的投篮动作包含两膝微屈、重心落在两脚掌上、下肢蹬地发力、身体随之向前上方伸展、同时抬肘向投篮方向小臂推而伸出、手腕下压、手指弹射，这样能够将脚趾力量完全连贯到手指，这种下肢、手臂、手腕、手指头都充分用到力量的投篮，看起来很柔顺、优美，具有艺术性，命中率高。但是身材相对矮小的组织后卫，如果采用这种规范的投篮动作，势必出手时间较长，给防守者以充分的时间做准备，被盖帽的可能性增大。反之，如果出手点较低，可以缩短从开始发力到篮球出手的时间，防止被盖帽，但是手臂、手腕以及手指头的力量可能没有被完全使上，必然使得篮球旋转不够，篮球飞行轨迹偏移较大，另外碰到篮筐、篮板后的反弹进球概率也大大降低。某 NBA 球队的技术顾问希望你的团队能帮助他们提高组织后卫在高强度防守下的投篮命中率。
第二阶段问题：
3. 假定该后卫是各队的重点防守对象，一般情况下很难有空位出手的机会，而且防守球员一般会用手臂挡住对方的视线，起跳后无法看到篮筐，出手时只能凭借起跳前的篮筐位置和起跳后篮板的位置来估算篮筐的位置，请改进第一阶段的数学模型，为该后卫推荐一个最佳的出手点和出手角度。
整体求解过程概述(摘要)
如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐
与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主
要以投篮为出发点，讨论其投篮时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之
间的变化对球入篮的影响，还综合考虑了球员投篮时出手点的高度与球出手的时间、出
手角度、以及出手时发力的关系，考虑到了防守时的一些约束条件，并且还查找观察、
分析了一些 NBA 球员的比赛录像，搜索了部分身体各项数据与问题所给出的数据相似
的 NBA 球员，记录下他们的有关数值，进行平均值的求解或者其他研究项目。我们在
建立模型中，我们先把模型简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起
运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度 v，加速度为 g 做均减速运动讨论其运
动规律，之后我们两把其他因素加入模型中来。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，
求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动
员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越
大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是
随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更
为敏感。在出手高度为 1.8~2.1m 之间时，出手速度一般要大于 8m/s。入射角度一般需
要大于 33.1。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏
差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;
出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
最终也得到一个方程，方程所有解对应出手点的集合即是后卫的最佳投球出手点。
问题分析：
一般球投篮中球的旋转及瞄准点途择的力学分析：
影响投篮命中率的因素较多.如心理状态、投篮时机、身体水平及投篮技术等, 但投篮技术是决定投篮命中率的主要因素.具体地说,投篮出手角度、入篮角度、球的旋持、全身协调用力以及球离手前的食指拔球都是決定投篮技术合理与否以及投篮命中率高低的重要因素,许多运动员在投篮中对蓝球是否旋特、如何旋转以及 a 営准点的进择不等重视.这恰恰成为制约其提高投篮命中率的瓶颈,在此,运用空气动力学、运型 1 生物力以及统计概率学来分析蓝球旋转在投篮中的作用和投篮監准点选择的多样性、差异性及其对投篮球命中率的影响, 试用数学模型分新投篮的出手角度：出手的高度、角度、速度是影响投蓝命中率的主要因素,用建立数学模型的方法计算出相关的数据,使三者紧密联系.研究目的是分析出出手速度、角度和高度之间的关系,在实际操作中用此科学数据为参考依据,进行有针对性的练习,以求达到快速提高投篮命中率的目的
在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度 h 和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度时所对应的不同篮框的入射角度。考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差。
模型假设：
1.在所有模型中都忽略空气阻力的影响
2、篮球可视为质点，其运动为抛物运动
3.篮球出手速度和人在投篮时的初速度都是一个常量
4.忽略内能和质量的变化
5.将球与篮板的碰撞视为完全弹性碰撞
6.投篮时身体向上和抬起大臂同时开始、同时结束；双脚离地之前投篮准备动作已经完成。
7. 先假设敌方防卫身体综合素质与我方相同，摸高同样是达到 3.40m，模型优化再讨论其他的；
论文缩略图：
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示例程序代码：(代码和文档not free)
clc
r=[1:0.1:8];
y=atan((0.83*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
y1=atan((0.73*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
y2=atan((0.63*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
y3=atan((0.53*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
A=y.*180/pi;B=y1.*180/pi;C=y2.*180/pi;D=y3.*180/pi
plot(r,A,r,B,r,C,r,D);
r=[1.6:0.1:8]
a=atan((0.83*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
v0=(9.8*r.^2./(r.*sin(2*a)-0.8*cos(a).*cos(a))).^(1/2)
a=atan((0.73*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
v1=(9.8*r.^2./(r.*sin(2*a)-0.8*cos(a).*cos(a))).^(1/2)
a=atan((0.63*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
v2=(9.8*r.^2./(r.*sin(2*a)-0.8*cos(a).*cos(a))).^(1/2)
a=atan((0.53*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
v3=(9.8*r.^2./(r.*sin(2*a)-0.8*cos(a).*cos(a))).^(1/2)
plot(r,v0,'r',r,v1,'b',r,v2,'y',r,v3)
r=[1:0.1:8];
y=atan((0.83*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
y1=atan((0.73*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
y2=atan((0.63*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
y3=atan((0.53*r.^2-0.4)./(r.^2-r));
A=y.*180/pi;B=y1.*180/pi;C=y2.*180/pi;D=y3.*180/pi
plot(r,A,r,B,r,C,r,D);r=[1:0.1:8]
detah=r.^(-2)-0.8*r.^(-3)
plot(r,detah)
r=[1:0.1:8]
h=0.4*r.^(-2)-2.61*r.^(-1)+2.15;
plot(r,h)
n=1+r.^(-1)-0.4*r.^(-2)
plot(r,n,r,h)
r=[1:0.1:8];
y=atan((0.83*r.^2-0.4)./(0.8*(r.^2-r)))
E=y.*180/pi
y=atan((0.83*r.^2-0.4)./((r.^2-r)))
F=y.*180/pi
y=atan((0.83*r.^2-0.4)./(1.2*(r.^2-r)))
G=y.*180/pi
plot(r,E,'r',r,F,'g',r,G,'b')
r=[1:0.1:8]
h=0.4*r.^(-2)-2.61*r.^(-1)+2.15;
plot(r,h)
n=1+r.^(-1)-0.6*r.^(-2)
plot(r,n,r,h)
r=[1:0.1:8]
h1=(r.*(r-1)*0.7+0.4).*r.^(-2)
h2=(r.*(r-1)+0.4).*r.^(-2)
h3=(r.*(r-1)*1.2+0.4).*r.^(-2)
a=[40:1:50]
sita=a.*pi/180
y1=cos(sita).^2/15.75*180/pi
y2=cos(sita).^2/24.75*180/pi
y3=cos(sita).^2/35.75*180/pi
plot(a,y1,a,y2,a,y3)
