强化学习是指智能体通过不断试错的方式进行学习，利用与环境进行交互时获得的奖励或惩罚来指导行为

试错学习

• 尝试（决策-decision）
• 错误
• 结果：每次尝试无论产生什么样的结果，都会对下一次结果产生影响
  • 奖励（reward）：正确的结果
  • 惩罚（punishment）：错误的结果
• 学习：通过不断地尝试来修正自己的行为，从而在下一次尝试中做出更有利的行为

试错学习的目标通常是以最大化累积的奖励来呈现，这个过程就是序列决策（sequential decision making）。

换句话说，对于任意问题，只要能够建模成序列决策问题或者带有鲜明的试错学习特征，就可以使用强化学习来解决，并且这是截至目前最为高效的方法之一，这就是要学习强化学习的原因。

其他类型的强化学习，例如观察学习（模仿学习、离线强化学习）

马尔可夫决策过程

马尔可夫决策过程（Markov decision process，MDP），它能够以数学的形式来表达序列决策过程，也是强化学习最基本的问题模型。

智能体和环境之间交互是在一系列离散的时间（time step）中交互的，通常时间$t$是有限的，即有限马尔可夫决策过程（Finite MDP）。上限用$T$表示，从$t$到$T$为一个回合，比如游戏的一局。

有些方法可以拓展到连续时间的情况，但为了方便，我们尽量只考虑离散时步的情况。

性质

马尔可夫决策过程有一个前提，即马尔可夫性质。

$$P(s_{t+1}|s_0,s_1,..,s_t)=P(s_{t+1}|s_t)$$

$$P(s_{t+1}|s_0,s_1,..,s_t，{\alpha }_t)=P(s_{t+1}|s_t,{\alpha }_t)$$

在给定历史状态$s_0,s_1,...,s_t$下，某个未来的状态只与当前状态$s_t$有关，与历史的状态无关。

显然，现实生活中很多场景都不符合马尔可夫性质，但可以结合其他方法来辅助强化学习。

回报

$$G_t=r_t+r_{t+1}+...+r_T$$

$$G_t=r_t+\gamma r_{t+1}+...+{\gamma }^n{r}_T$$

其中$G_t$是累积奖励（回报），$\gamma$是衰减因子，位于0-1之间，奖励越靠后，权越小。

带衰减因子有以下考量

• 马尔可夫过程可能带环，避免无穷
• 想尽可能快的得到未来的奖励
• 作为超参数来调整对现在的状态还是之前的状态更看重

马尔可夫链

上图中，$s1,s2,s3$分别表示三种不同的状态，其中的连线表示不同状态之间转移的概率。上图被称为马尔可夫链（Markov Chain），例如$P_{12}=P(S_{t+1}=s_2|S_t=s_1)$

进一步可扩展为$P_{s{s}^{\prime }}=P(S_{t+1}=s^{\prime }|S_t=s)$

其中大写S表示所有状态的集合，可以将状态之间转化的概率用表格表示。

进而表示为状态转移矩阵（State Transition Matrix）

马尔可夫奖励过程（Markov Reward Processes，MRPs）

是马尔可夫链 + 奖励函数R，如果状态有限，则奖励函数可以用向量表示。如下图所示，可以将奖励过程看作一个随波逐流的纸船，到达不同位置获得不同的奖励。

状态价值函数：被定义为回报的期望，即当我们进入某一个状态后，我们现在有多大的价值。

例如计算S4的价值函数

• 方法一，蒙特卡罗：从S4开始，采样生成很多轨迹，进行平均
• 方法二，贝尔曼方程

马尔可夫决策过程（MDPs）

马尔可夫决策过程可以用一个五元组<$S,A,R,P,\gamma$>表示，其中A表示动作空间、R表示奖励函数、P表示状态转移矩阵、$\gamma$表示衰减因子。

较MRP增加了行为A，未来的状态不仅依赖于当前的状态，也依赖于在当前状态智能体采取的动作。

性质

$$P(s_{t+1}|s_t,{\alpha }_t)=P(s_{t+1}|s_0,s_1,..,s_t，{\alpha }_t)$$

奖励函数也多了一个当前的动作$$R(s_t=s,a_t=a)=E[r_t|s_t=s,a_t=a]$$

策略定义了在某一个状态应该采取什么样的动作。知道当前状态后，我们可以把当前状态代入策略函数来得到一个概率，即

$$\pi (a|s)=p(a_t=a|s_t=s)$$概率代表在所有可能的动作里面怎样采取行动，比如可能有 0.7 的概率往左走，有 0.3 的概率往右走，这是一个概率的表示。

左侧的马尔可夫链或者马尔可夫奖励过程，从一个状态到另一个状态只需要状态转移函数$P（s^{\prime }|s）$。右侧的马尔可夫决策过程需要先选择行为，即中间一层黑色结点，最终转移到另一种状态。

DQN