第二节 一维搜索

通过上期学习，大家已经了解了非线性规划的基本内容，那么如何求解一个非线性规划问题呢？本期小编就带大家来学习用于求解单变量无约束极值问题的方法——一维搜索，该方法也是后面求解更复杂问题的基础。

一、引入

1.定义

得到当前迭代点 后，按某种规则确定一个方向 ，再从 出发，沿方向 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到 的后继点 。重复上述做法，直至求得问题的解。此处求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索（线性搜索）。

一维搜索是针对单变量函数进行的，也是多变量函数最优化的基础。

2.分类

一维搜索主要分为两类，这两类方法求得的极小点均为近似值，具体如下：

（1）试探法：按某种方式寻找一系列的试探点，根据试探点来确定极小点。（斐波那契、0.618）

（2）函数逼近法（插值法）：用某种较简单的曲线逼近原来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。（牛顿法、割线法）

一维搜索的方法很多，这里仅介绍试探法中的斐波那契（Fibonacci）法和0.618法，这两种方法仅需计算函数值，不必计算函数的导数。

二、斐波那契法（分数法）

1.概述

是区间] 上的单变量下单峰函数，它在该区间上有唯一极小点t*。函数在t*左边严格下降，在右边严格上升。若在此区间内任取两点 ，且 ，并计算函数值 和 ，则可能存在以下两种情况：

（1）如果 ，那么极小值则存在于 区间内。

（2）如果 ，那么极小值存在于 内。

这说明，只要在搜索区间 内取两个不同点并算出它们的函数值加以比较，即可把包含极小点的区间由 缩小为 或 。这时，如要继续缩小搜索区间 或 ，就只需在新的区间内再取一点算出其函数值并加以比较即可。显而易见，如果区间越小，则越能接近函数的极小点，但同时，要求计算的次数会越多。那么计算n次能把区间缩小到什么程度呢？怎么使搜索最快呢？或者说，计算n次能把至多多大的原区间缩小为长度为1个单位的区间呢？

我们用 来表示计算n次，就能使最大为 的区间缩短为1个单位长度，明显，如果我们只摆了一个点进去，没有比较，也就无法判断。因此

当n=2时，我们摆了两个点进去，这时候搜索的范围就缩小了一半。比如说搜索区间为[0,2]，我们选择一个点为1-ε ，ε另一个点为1+ε 这里的ε 为一个很小的正数。再仿照前面的方法比较他们的函数值。也就是，如果1-ε 的函数值小一点，极小值就存在于[0,1+ε ].之间，如果1+ ε 的函数值小一点，则极小值就存在于[1-ε ,1]之间。因为这个ε 认为是任意小的正数。所以这个原来为2的区间，就被缩短成了搜索区间长度趋近为1，因此可得F2=2 。

用上述类似分析方法可得：

下图示出了这三种情况，图中红色小圆圈中的数字表示选取这个试点的先后顺序，数字表示该点在区间里的位置。

这个序列服从一个一般递推公式：

由上面的讨论可知，计算n次函数值所能得到的最大缩短率（缩短后的区间长度与原区间长度之比）为1/Fn 。要想把区间a0,b0 的长度缩δ短为原来区间长度的δ （δ<1 ）倍或更小，即缩短后的区间长度

只要n足够大，能使下式成立即可：

上式中δ 为区间缩短的相对精度。

有时给出区间缩短的绝对精度：

显然相对精度与绝对精度的关系：

2.步骤

现将斐波那契法缩短区间的步骤总结如下：

（1）根据缩短率δ （已知），算出Fn （Fn≥1δ ），根据斐波那契数表确定最小的n 。

（2）选取前两个试点的位置，如下图。

t1=a0+Fn-2Fnb0-a0=b0+Fn-1Fna0-b0

t1'=a0+Fn-1Fnb0-a0

（3）计算函数值，并比较大小：

 若f(t1) <f(t1')  ，则取a1 =a0 ，b1=t1' ，t2'=t1 ，并令

若f(t1)≥f(t1') ，则取a1 =t1 ，b1=b0 ，t2=t1' ，并令

（4）计算f(t2) 或f(t2') ，像（3）进行一步一步的迭代，计算试点的公式一般为：

其中k=1,2, …, n-1

（5）当 k=n-1  时，

t

此时，无法通过两点的函数值大小来确定最终区间。取

tn-1' =an-2 +(12+ε )(bn-2 -an-2)=  12an-2+bn-2 +ε (bn-2 - an-2 )

其中，ε 为任意小的数；选取ftn-1和  f(tn-1') ，较小者作为近似极小值，对应的点为近似极小点；最终区间为[an-2 ，tn-1' ]或者[tn-1，bn-2 ]。

3.例题求解

接下来我们使用斐波那契法来求解下面这个例题吧。

例题5：试用斐波那契法求函数 的近似极小点和近似极小值，要求缩短后的区间不大于区间[-1,3]的0.08倍。

解：函数 在此区间上为严格凸函数。为了进行比较，给出其精确解为： ， 。

（1）已知 ，

查表可得n=6。 根据公式可求：

由于 所以取 。

（2）已知 可得：

由于ft2 >ft2'=1.751 ，所以取

（3）已知 可得：

由于ft3' >ft3  =  1.751 ，所以取

（4）已知 可得：

由于ft4 >ft4'  =  1.751 ，所以取

现令 ，则

所以取  由于 ，因此，以t5 为近似极小值点，近似极小值为1.751。

缩短后的区间长度为0.545-0.231=0.314，0.314/4=0.0785<0.08

三、0.618法（黄金分割法）

1.概述

接下来，我们继续介绍另一种经典的一维搜索方法——0.618法。由上节的论述可知，当用斐波那契法以n个试点来缩短某一区间时，区间长度的第一次缩短率为Fn-1Fn ，其后各次分别为

现将以上数列分为奇数项 和偶数项 ，可以证明，这两个数列收敛于同一个极限0.618033988741。

以不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，就得到了0.618法。可以把这个方法看成是斐波那契法的近似，它比较容易实现，效果也很好，因而更易于为人们所接受。

用 0.618法计算 n个试点的μ函数值，把原区间a0,b0 连续缩短n-1 次，由于每次的缩短率均相同，为μ ，故最后的区间长度为

0.618法是一种等速对称消去区间的方法，每次的试点均取在区间相对长度的 0.618和0.382处。

2.例题求解

例题：用0.618法求函数  在区间[0,3]上的极大点，要求缩短后和区间长度不大于原区间长度的10%。

解：已知  a1=0,b0=3 ，计算第一次缩短时两个点的位置：

计算函数值ft1 和ft1' ：

因为 ，且题目要求计算区间内的极大点，因此取：

通过第一次计算得到了a1 、b1 与t2 的值，因此还需计算t2' ：

在上述的计算中已知 ，因此还需计算ft2' ：

因为 ，因此取：

通过第二次计算得到了a2 、b2 与t3' 的值，因此还需计算t3 ：

在上述的计算中已知 ，因此还需计算ft3 ：

ft3=t32=1.5842=0.792

因为f ，因此取：

通过第三次计算得到了a3 、b3 与t4 的值，因此还需计算t4' ：

在上述的计算中已知ft4=ft3'=0.927 ，因此还需计算ft4' ：

ft4'=-t4'+3=-2.022+3=0.978

因为ft4<ft4' ，因此取：

a4=t4=1.854,b4=b3=2.292,t5=t4'=2.022

通过第四次计算得到了a4 、b4 与t5 的值，因此还需计算t5' ：

t5'=a4+0.618b4-a4=1.854+0.618*2.292-1.854=2.125

在上述的计算中已知ft5=ft4'=0.978 ，因此还需计算ft5' ：

ft5'=-t5'+3=-2.125+3=0.875

因为ft5>ft5' ，因此取：

a5=a4=1.854,b5=t5'=2.125

此时我们将缩短区间长度与原区间长度进行对比可得：

2.125-1.8543-0=0.2713=0.090<0.100

即缩短后区间长度小于原区间长度的10%，因此可以终止计算，从而得到近似极大点为t5=2.022 ，近似极大值为ft5=0.978 。