蓝桥杯

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题目及图片来自蓝桥杯C++ AB组辅导课

数论（下）

蓝桥杯省赛中考的数论不是很多，这里讲几个蓝桥杯常考的知识点。

约数个数定理

我们如何去求一个数的约数个数呢？

$N$分解质因数的结果：$N=P_1^{{\alpha }_1}\times P_2^{{\alpha }_2}\times ...\times P_k^{{\alpha }_k}$

约数个数是：$({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)...({\alpha }_k+1)$

假设$N$的一个约数$d=P_1^{{\beta }_1}\times P_2^{{\beta }_2}\times ...\times P_k^{{\beta }_k}(0\le {\beta }_i\le {\alpha }_i)$，每一个约数都可以表示为这样的形式，这种约数的个数也就等于 $k$ 元组的个数：$({\beta }_1,{\beta }_2...{\beta }_k)$，这 $k$ 元组有多少种选法：$({\alpha }_1+1)\cdot ({\alpha }_2+1)\cdot ({\alpha }_k+1)$

约数和定理

公式：$(1+P_1+P_1^2+..+P_1^{{\alpha }_1})(1+P_2+P_2^2+..+P_2^{{\alpha }_2})...(1+P_k+P_k^2+..+P_k^{{\alpha }_k})$

这个公式展开了就是上面定理的约数 $d=P_1^{{\beta }_1}\times P_2^{{\beta }_2}\times ...\times P_k^{{\beta }_k}(0\le {\beta }_i\le {\alpha }_i)$ 之和。

例题

AcWing 1296. 聪明的燕姿

约数个数定理

约数和定理

给我们一个$S$，问我们有多少个正整数满足它的所有正约数之和等于$S$。

$S$ 满足约数和定理：$S=(1+P_1+P_1^2+..+P_1^{{\alpha }_1})(1+P_2+P_2^2+..+P_2^{{\alpha }_2})...(1+P_k+P_k^2+..+P_k^{{\alpha }_k})$

因为方案数非常少，我们可以用暴搜dfs求解。

这题太难理解啦，之后的题也没有做了。