矩阵分析

一、方阵范数

1.1 矩阵范数

范数与方阵范数的对比¹

范数	方阵范数
$x=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n)\in {\mathbb{C}}^n$	$A=[a_{ij}]\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$
$|x|\infty=\max{1\leq i\leq n}	\xi_i
$|x|p=\left( \sum{i=1}^n	\xi_i
$|x|2=\left( \sum{i=1}^n	\xi_i
$|x|=\sum_{i=1}^n	\xi_i
	行和范数：$|A|\infty=\max{\substack{i\}} \sum_{j=1}^n
	谱范数：$|A{|}_2={\max }_{\begin{array}{c}|x{|}_2=1\end{array}}|Ax{|}_2=\sqrt{\rho (A^{H}A)}$；这里 $\rho (\cdot )$ 为方阵全部特征值的模的最大值，称为方阵的谱半径（简记：特征值的最大模）
	通式：$|A{|}_{\alpha }={\sup }_{\begin{array}{c}x\ne 0\end{array}}\frac{|Ax{|}_{\alpha }}{|x{|}_{\alpha }}={\sup }_{\begin{array}{c}|x|=1\end{array}}|Ax{|}_{\alpha }$
	ρ ( A ) = inf ⁡ { 方阵范数 ∣ A ∣ } \rho(A)=\inf\{方阵范数|A|\} ρ(A)=inf{方阵范数∣A∣}

1.2 与矩阵乘积相容的矩阵范数

【定义】自相容范数 / 方阵范数

设 $\Vert \cdot \Vert$ 为线性空间 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中一种范数。如果 $\forall A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，均有
$$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$$
则称 $\Vert \cdot \Vert$ 为矩阵乘积相容的矩阵范数，简称为 自相容范数 or 方阵范数

1.3 与向量范数相容的矩阵范数

【定义】矩阵范数与向量范数相容

设 $\Vert \cdot \Vert$ 为线性空间 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中范数。$\Vert \cdot {\Vert }_a$ 为线性空间 ${\mathbb{C}}^n$ 中的范数。如果 $\forall A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，$\forall x\in {\mathbb{C}}^n$，均有
$$\Vert Ax{\Vert }_a\le \Vert A\Vert \Vert x{\Vert }_a$$
则称矩阵范数 $\Vert \cdot \Vert$ 与向量范数 $\Vert \cdot {\Vert }_a$ 相容

【定理】任意自相容范数必存在与它相容的向量范数

对于 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上任意一种 自相容范数 $\Vert \cdot \Vert$，必存在 ${\mathbb{C}}^n$ 中一个与它相容的 向量范数

二、算子范数

2.1 方阵的算子范数

【定理】由向量范数诱导的算子范数是自相容范数，且方阵的算子范数与该向量范数是相容的

由向量范数诱导的算子范数是自相容范数，且方阵的算子范数与该向量范数是相容的

【定理】二范数之间的关系

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，则

• $\Vert A{\Vert }_2=\Vert A^H{\Vert }_2=\Vert A^T{\Vert }_2=\Vert \overline{A}{\Vert }_2$
• $\Vert A^{H}A{\Vert }_2=\Vert A{A}^H{\Vert }_2=\Vert A{\Vert }_2^2$
• $\forall$ n 阶酉矩阵 $U$ 和 $V$，有 $\Vert UA{\Vert }_2=\Vert AV{\Vert }_2=\Vert UAV{\Vert }_2=\Vert A{\Vert }_2$

【定理】方阵范数与谱半径关系

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，$\rho (A)$ 为 $A$ 的谱半径，则 ρ ( A ) = inf ⁡ { ∥ A ∥ ∣ ∥ ⋅ ∥ 为 C n × n 上方阵范数 } \rho(A)=\inf\{ \|A\|\mid \|\cdot\| 为\mathbb C^{n\times n}上方阵范数 \} ρ(A)=inf{∥A∥∣∥⋅∥为Cn×n上方阵范数}

三、方阵序列与方阵幂级数

3.1 方阵序列

【定义】方阵序列收敛

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 22: …_{ij}^{(m)}]\in\̲C̲^{n\times n}，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 14: A=[a_{ij}]\in\̲C̲^{n\times n}

方阵序列 { A m } \{A_m\} {Am​} 收敛于 $A$ $⟺$ $\forall i,j=1,2,\cdots ,n$，都有 { a i j ( m ) } \{a_{ij}^{(m)}\} {aij(m)​} 收敛于 $a_{ij}$

【定理】方阵序列收敛的性质

• ${\lim }_{m\to \infty }{A}_m=A,{\lim }_{m\to \infty }{B}_m=B$ $\Rightarrow$ ${\lim }_{m\to \infty }(A_m+B_m)=A+B$
• ${\lim }_{m\to \infty }{A}_m=A,{\lim }_{m\to \infty }{B}_m=B$ $\Rightarrow$ ${\lim }_{m\to \infty }(A_m{B}_m)=AB$
• 设 ${\lim }_{m\to \infty }{A}_m=A$，且 $A^{-1}$，$A_m^{-1}$ 存在，$\Rightarrow$ ${\lim }_{m\to \infty }{A}_m^{-1}=A^{-1}$

【定理】方阵序列收敛于零矩阵的充要条件

设 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 5: A\in\̲C̲^{n\times n}，则方阵序列 { A m } m = 0 ∞ \{A^m\}^\infty_{m=0} {Am}m=0∞​ 收敛于零矩阵的充要条件为 $\rho (A)<1$

注：设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，$\rho (A)$ 为 $A$ 的谱半径，则 ρ ( A ) = inf ⁡ { ∥ A ∥ ∣ ∥ ⋅ ∥ 为 C n × n 上方阵范数 } \rho(A)=\inf\{ \|A\|\mid \|\cdot\| 为\mathbb C^{n\times n}上方阵范数 \} ρ(A)=inf{∥A∥∣∥⋅∥为Cn×n上方阵范数}

3.2 方阵级数

【定义】 方阵级数收敛

方阵级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{A}_m$ 收敛于 $S=[S_{ij}]$ 当且仅当 $\forall i,j=1,2,\cdots ,n$，数项级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{ij}^{(m)}$ 收敛于 $S_{ij}$

【定义】方阵级数绝对收敛

方阵级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{A}_m$ 绝对收敛，当且仅当 $\forall i,j=1,2,\cdots ,n$，数项级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{ij}^{(m)}$ 绝对收敛

【定理】方阵级数绝对收敛，则该方阵级数收敛

如果 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{A}_m$ 绝对收敛，则 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{A}_m$ 收敛

3.3 方阵幂级数

下面的 $A^m$ 指 $m$ 次方

【定义】方阵幂级数

设 $X$ 是任意 n 阶方阵， { c m } \{c_m\} {cm​} 是复数列，称 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$ 为 $A$ 的幂级数，$c_m$ 称为第 $m$ 项系数，约定 $A^0=E$

【定义】方阵幂级数收敛

若 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$ 收敛（绝对收敛）到 $f(A)$，即
$$f(A)=\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$$
则称 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$ 在 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 5: A\in\̲C̲^{n\times n} 处收敛（绝对收敛）

【定理】谱半径推导方阵幂级数的敛散性（收敛半径的推广）

设复幂级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{z}^m$ 的收敛半径为 $R$，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 5: A\in\̲C̲^{n\times n} 的谱半径为 $\rho (A)$，则

• 当 $\rho (A)<R$ 时，${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$ 绝对收敛
• 当 $\rho (A)>R$ 时，${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$ 发散

若复幂级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{z}^m$ 在全平面收敛，则

• ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$ 在全空间 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 1: \̲C̲^{n\times n} 中绝对收敛

【定理】特征值+收敛半径推导方阵幂级数敛散性

设 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m(z-{\lambda }_0{)}^m$ 的收敛半径为 $R$，

若 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 5: A\in\̲C̲^{n\times n} 的所有特征值满足不等式 $|{\lambda }_j-{\lambda }_0|<R$，$j=1,2,\cdots ,n$，则

• 方阵幂级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m(A-{\lambda }_{0}E{)}^m$ 绝对收敛

若存在 $A$ 的特征值 ${\lambda }_k$ 使得 $|{\lambda }_k-{\lambda }_0|>R$，则

• 方阵幂级数 ${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m(A-{\lambda }_{0}E{)}^m$ 发散

每一个特征值距离该特定点(${\lambda }_0$)均小于收敛半径，则绝对收敛

四、方阵的函数及其计算

4.1 方阵函数的幂级数表示

方阵也可以构成函数，即方阵函数

既然有方阵函数，就可以通过 Taylor 展开来分析

【定义】常见方阵函数的Taylor展开（常见Taylor展开的推广）

4.2 方阵函数的Jordan标准型法

【定理】方阵函数与Jordan标准型

设复幂级数 $f(z)={\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{z}^m$ 的收敛半径为 $R$，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 5: A\in\̲C̲^{n\times n} 的 Jordan 标准型为 $J=diag(J_1,J_2,\cdots ,J_s)$，即有相似变换矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J$，则

• 当 $\rho (A)<R$ 时，有：

$$f(A)=\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m=P\cdot diag(f(J_1),f(J_2),\cdots ,f(J_s))\cdot P^{-1}$$

4.3 方阵函数的谱方法

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1. 方阵范数：1)非负. 2)齐次. 3) 三角不等式. 4)乘法相容性 ↩︎