【剪枝】【广度优先】【深度优先】488祖玛游戏

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【动态规划】458:可怜的小猪

涉及知识点

剪枝 广度优先 深度优先

488祖玛游戏

在这个祖玛游戏变体中，桌面上有 一排 彩球，每个球的颜色可能是：红色 ‘R’、黄色 ‘Y’、蓝色 ‘B’、绿色 ‘G’ 或白色 ‘W’ 。你的手中也有一些彩球。
你的目标是 清空 桌面上所有的球。每一回合：
从你手上的彩球中选出 任意一颗 ，然后将其插入桌面上那一排球中：两球之间或这一排球的任一端。
接着，如果有出现 三个或者三个以上 且 颜色相同 的球相连的话，就把它们移除掉。
如果这种移除操作同样导致出现三个或者三个以上且颜色相同的球相连，则可以继续移除这些球，直到不再满足移除条件。
如果桌面上所有球都被移除，则认为你赢得本场游戏。
重复这个过程，直到你赢了游戏或者手中没有更多的球。
给你一个字符串 board ，表示桌面上最开始的那排球。另给你一个字符串 hand ，表示手里的彩球。请你按上述操作步骤移除掉桌上所有球，计算并返回所需的 最少 球数。如果不能移除桌上所有的球，返回 -1 。
示例 1：
输入：board = “WRRBBW”, hand = “RB”
输出：-1
解释：无法移除桌面上的所有球。可以得到的最好局面是：

  • 插入一个 ‘R’ ，使桌面变为 WRRRBBW 。WRRRBBW -> WBBW
  • 插入一个 ‘B’ ，使桌面变为 WBBBW 。WBBBW -> WW
    桌面上还剩着球，没有其他球可以插入。
    示例 2：
    输入：board = “WWRRBBWW”, hand = “WRBRW”
    输出：2
    解释：要想清空桌面上的球，可以按下述步骤：
  • 插入一个 ‘R’ ，使桌面变为 WWRRRBBWW 。WWRRRBBWW -> WWBBWW
  • 插入一个 ‘B’ ，使桌面变为 WWBBBWW 。WWBBBWW -> WWWW -> empty
    只需从手中出 2 个球就可以清空桌面。
    示例 3：
    输入：board = “G”, hand = “GGGGG”
    输出：2
    解释：要想清空桌面上的球，可以按下述步骤：
  • 插入一个 ‘G’ ，使桌面变为 GG 。
  • 插入一个 ‘G’ ，使桌面变为 GGG 。GGG -> empty
    只需从手中出 2 个球就可以清空桌面。
    示例 4：
    输入：board = “RBYYBBRRB”, hand = “YRBGB”
    输出：3
    解释：要想清空桌面上的球，可以按下述步骤：
  • 插入一个 ‘Y’ ，使桌面变为 RBYYYBBRRB 。RBYYYBBRRB -> RBBBRRB -> RRRB -> B
  • 插入一个 ‘B’ ，使桌面变为 BB 。
  • 插入一个 ‘B’ ，使桌面变为 BBB 。BBB -> empty
    只需从手中出 3 个球就可以清空桌面。

提示：
1 <= board.length <= 16
1 <= hand.length <= 5
board 和 hand 由字符 ‘R’、‘Y’、‘B’、‘G’ 和 ‘W’ 组成
桌面上一开始的球中，不会有三个及三个以上颜色相同且连着的球

剪枝

剪枝一：如果手中有多个相同颜色的球，只需要尝试一个，其它不需要尝试。
剪枝二：如果收中的球和桌面颜色相同的球，只需要考虑插入到最前面。在一个红球的前面或后面插入红球，结果一样两个连续的红球。在两个红球的前面或后面或中间插入红球的效果一样，连续的3个红球消除。
假定插入的颜色是ch，插入的位置是i，只需要考虑以下两种情况：
一，board[i]等于ch。
二，board[i-1]等于board[i]。
忽略剪枝后，再考虑这两种情况。这两种情况都是必须，缺少情况一，无法消除任何球。缺少情况二，无法消除以下用例：
RRWWRRBBRR WB，第一步消除W或B的连锁反应都会消除4个R，造成余下的2个R，无法消除。
RRWWRRBBRWR − − − > 消除 B _{--->}^{消除B} −−−>消除B​ RRWWRRRWR − − − − − − − − > 连锁消除 3 个 R _{-------->}^{连锁消除3个R} −−−−−−−−>连锁消除3个R​ RRWWWR − − − − − − − − > 连锁消除 3 个 W _{-------->}^{连锁消除3个W} −−−−−−−−>连锁消除3个W​ RRR − − − − − − − − > 连锁消除 3 个 W _{-------->}^{连锁消除3个W} −−−−−−−−>连锁消除3个W​ 结束。

下面来证明为什么只需要考虑两种情况：

0==i两种相等情况一
两种不等假定ch能被消除，假定和ch同时消除，从左向右第一个小标为i1，board[0]和board[i1]一起被消除，说明board(0,i1)能被消除且不依赖不影响board[i1]，那将ch不插入到0，插入到i1，操作顺序完全一样。被淘汰。简称证明一。
board.length-1 == i两者相等就是剪枝二。
两者不等类似证明一。
i是中间的下标三者相等剪枝二淘汰。
ch==board[i]就是情况一。
ch==board[i-1]就是剪枝二，淘汰。
board[i-1]==board[i]就是情况二。
三者不等。假定ch能被消除，否则则组合没有任何意义。一个ch无法消除，所以它的左边或边有必定有一个ch被一起消除。不失一般性，假定在它的左边，下标为i1，borad[i1]和ch一起被消除，说明(i1,i)的字符都消除。那将ch插入到i1和i的效果一样。由于board[i-1]不等于board[i]和ch，所以无论是否插入ch，都不会影响右边的字符。 两中方案(i1,i)的左边都是ch，所以新方案不会有影响左边。

第一版代码

class Solution {
public:
int findMinStep(string board, string hand) {
sort(hand.begin(), hand.end());
queue<pair<string, string>> que;
unordered_set setHasDo;
auto Add = [&](const string& s, const string& h)
{
bool bEmpty = s.empty();
const string cur = s + “-” + h;
if (setHasDo.count(cur))
{
return;
}
setHasDo.emplace(cur);
que.emplace(s, h);
};
Add(board, hand);
while (que.size())
{
auto [s, h] = que.front();
que.pop();
if (s.empty())
{
return hand.length() - h.length();
}
unordered_map<char, int> mCharCount;
for (const auto& ch : h)
{
mCharCount[ch]++;
}
for (int j = 0; j < s.length(); j++)
{
if ((j + 1 < s.length()) && (s[j] == s[j + 1]))
{
if (mCharCount.count(s[j]) && (mCharCount[s[j]] >= 1))
{
mCharCount[s[j]]–;
Add(Do(s.substr(0,j+1)+s[j] + s.substr(j+1)),ToString(mCharCount));
mCharCount[s[j]]++;
}
for ( auto& [ch, iCnt] : mCharCount)
{
if (ch != s[j])
{
iCnt–;
Add(Do(s.substr(0, j+1) + ch + s.substr(j + 1)), ToString(mCharCount));
iCnt++;
}
}
}
else
{
if (mCharCount.count(s[j]) && (mCharCount[s[j]] >= 2))
{
mCharCount[s[j]] -= 2;
Add(Do(s.substr(0, j) + s[j] + s[j] + s.substr(j)), ToString(mCharCount));
mCharCount[s[j]] += 2;
}
}
}
}
return -1;
}
string Do(const string& s)
{
stack<pair<char, int>> sta;
for (const char& ch : s )
{
while (sta.size() && (sta.top().first != ch) && (sta.top().second >= 3))
{
sta.pop();
}
if (sta.size() && (sta.top().first == ch))
{
sta.top().second++;
}
else
{
sta.emplace(ch, 1);
}
}
string sRet;
while (sta.size())
{
const auto [ch, iCnt] = sta.top();
sta.pop();
if (iCnt < 3)
{//最后一个元素需要判断
sRet += string(iCnt, ch);
}
}
return sRet; //正序和反序是一样的
}
string ToString(const unordered_map<char, int>& mCharCount)
{
string strRet;
for (const auto& [ch, iCnt] : mCharCount)
{
strRet += string(iCnt, ch);
}
return strRet;
}
}; ，

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}
}int main()
{string board,  hand;	{Solution sln;board = "RRWWRRBBRR", hand = "WB";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(2, res);}{Solution sln;board = "WWRRBBWW", hand = "WRBRW";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(2, res);}{Solution sln;board = "G", hand = "GGGGG";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(2, res);}{Solution sln;board = "WRRBBW", hand = "RB";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(-1, res);}{Solution sln;board = "WRRBBW", hand = "RB";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(-1, res);}{Solution sln;board = "RBYYBBRRB", hand = "YRBGB";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(3, res);}{Solution sln;board = "RRGGBBYYWWRRGGBB", hand = "RGBYW";auto res = sln.findMinStep(board, hand);Assert(-1, res);}}

小的优化

class Solution {
public:int findMinStep(string board, string hand) {sort(hand.begin(), hand.end());queue<pair<string,string>> que;unordered_set<string> setHasDo;auto Add = [&](const string& s, const string& h){const string cur = s + "-" + h;if (setHasDo.count(cur)){return;}setHasDo.emplace(cur);que.emplace(s,h);};Add(board, hand);while (que.size()){auto[s,h] = que.front();que.pop();	if (s.empty()){return hand.length() - h.length();}for (int i = 0 ; i < h.length();i++){if (i && (h[i] == h[i - 1])){//剪枝一continue;}string h2 = h.substr(0,i) + h.substr(i+1);for (int j = 0; j < s.length(); j++){if (j&& (h[i] == s[j-1])){continue;//剪枝二}if ((h[i] == s[j])||(j && (s[j - 1] == s[j]))){Add(Do(s, j, h[i]), h2);}}}}return -1;}string Do(const string& s, int l1,  const char& ch){		stack<pair<char,int>> sta;auto Add = [&sta](const char& ch){while (sta.size() && (sta.top().first != ch ) && (sta.top().second >= 3)){sta.pop();}if (sta.size()&& (sta.top().first == ch)){sta.top().second++;}else{sta.emplace(ch,1);}			};for (int i = 0; i < l1; i++){Add( s[i]);}Add(ch);for (int i = l1; i < s.length() ; i++){Add(s[i]);}string sRet;while (sta.size()){const auto [ch,iCnt] = sta.top();sta.pop();if (iCnt < 3){//最后一个元素需要判断sRet += string(iCnt, ch);}}return sRet; //正序和反序是一样的}
};

实际上只需要考虑三种情况

  • 弹出一个球，三消。
  • 弹出两个同颜色的球三消。
  • 两个同颜色的球直接插入不同颜色的球。
class Solution {
public:int findMinStep(string board, string hand) {sort(hand.begin(), hand.end());queue<pair<string, string>> que;unordered_set<string> setHasDo;auto Add = [&](const string& s, const string& h){bool bEmpty = s.empty();const string cur = s + "-" + h;if (setHasDo.count(cur)){return;}setHasDo.emplace(cur);que.emplace(s, h);};Add(board, hand);while (que.size()){auto [s, h] = que.front();que.pop();if (s.empty()){return hand.length() - h.length();}unordered_map<char, int> mCharCount;for (const auto& ch : h){mCharCount[ch]++;}			for (int j = 0; j < s.length(); j++){if ((j + 1 < s.length()) && (s[j] == s[j + 1])){if (mCharCount.count(s[j]) && (mCharCount[s[j]] >= 1)){mCharCount[s[j]]--;Add(Do(s.substr(0,j+1)+s[j] + s.substr(j+1)),ToString(mCharCount));mCharCount[s[j]]++;}for ( auto& [ch, iCnt] : mCharCount){if (ch != s[j]){iCnt--;Add(Do(s.substr(0, j+1) + ch + s.substr(j + 1)), ToString(mCharCount));iCnt++;}}}else{if (mCharCount.count(s[j]) && (mCharCount[s[j]] >= 2)){mCharCount[s[j]] -= 2;Add(Do(s.substr(0, j) + s[j] + s[j] + s.substr(j)), ToString(mCharCount));mCharCount[s[j]] += 2;}}				}}return -1;}string Do(const string& s){stack<pair<char, int>> sta;for (const char& ch : s ){while (sta.size() && (sta.top().first != ch) && (sta.top().second >= 3)){sta.pop();}if (sta.size() && (sta.top().first == ch)){sta.top().second++;}else{sta.emplace(ch, 1);}}string sRet;while (sta.size()){const auto [ch, iCnt] = sta.top();sta.pop();if (iCnt < 3){//最后一个元素需要判断sRet += string(iCnt, ch);}}return sRet; //正序和反序是一样的}string ToString(const unordered_map<char, int>& mCharCount){string strRet;for (const auto& [ch, iCnt] : mCharCount){strRet += string(iCnt, ch);}return strRet;}
};

进一步改进

hand的状态可以用位运算来表示，这可以提速，本题已经够复杂了。就不继续了。
可以用 深度优先，但要处理重复搜索。
已有状态： board用字符串，字典树提速。 hand用int 提速。

2023年1月版

class Solution {
public:
int findMinStep(string board, string hand) {
std::sort(hand.begin(), hand.end());
m_iMaxStep = hand.size();
std::unordered_set pre;
pre.emplace(hand + board);
for (int iStep = m_iMaxStep; iStep > 0; iStep–)
{
std::unordered_set dp;
for (const auto str : pre)
{
const string sHand = str.substr(0, iStep);
const string sBoard = str.substr(iStep);
if (“” == sBoard)
{
return m_iMaxStep - iStep;
}
Do(dp, sBoard, sHand);
}
pre.swap(dp);
}
if (pre.count(“”))
{
return m_iMaxStep;
}
return -1;
}
void Do(std::unordered_set& dp, const string& strBoard, const string& strHand)
{
for (int i = 0; i < strHand.size(); i++)
{
if ((i>0) && (strHand[i] == strHand[i - 1]))
{
continue;
}
string tmp = strHand;
tmp.erase(i, 1);
const char& ch = strHand[i];
for (int j = 0; j <= strBoard.size(); j++)
{
bool bNeedDo = false;
if (j < strBoard.length() && (strBoard[j] == ch))
{
bNeedDo = true;
}
if (j>0)
{
if ((j < strBoard.length()) && (strBoard[j-1] == strBoard[j])&&(ch != strBoard[j]))
{
bNeedDo = true;
}
}
if (!bNeedDo)
{
continue;
}
dp.emplace(tmp + Do(strBoard, j, ch));
}
}
}
string Do(string strBoard, int index, const char& ch)
{
strBoard.insert(index, std::string(“”) + ch);
Erase(strBoard, index);
return strBoard;
}
void Erase(string& strBoard, int index)
{
string res;
vector<pair<char, int>> st;
for (auto c : strBoard) {
while (!st.empty() && c != st.back().first && st.back().second >= 3) {
st.pop_back();
}
if (st.empty() || c != st.back().first) {
st.push_back({ c, 1 });
}
else {
st.back().second++;
}
}
if (!st.empty() && st.back().second >= 3) {
st.pop_back();
}
for (int i = 0; i < st.size(); ++i) {
for (int j = 0; j < st[i].second; ++j) {
res.push_back(st[i].first);
}
}
strBoard = res;
}
int m_iMaxStep;
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 **C+

+17**
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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