动态规划思想案例刨析

动态规划的思想

动态规划解决问题的核心思想是“重叠子问题”和“最优子结构”。

重叠子问题：在复杂问题中，往往存在许多重复的子问题。动态规划通过避免重复计算，将子问题的解保存起来，以便在需要时直接引用，从而提高效率。通过记忆化存储或者使用动态规划表来实现。

最优子结构：如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，那么我们称这个问题具有最优子结构。动态规划利用最优子结构的性质，将问题划分为一系列规模较小的子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

动态规划的应用步骤

使用动态规划解决问题一般包括以下步骤：

  1. 定义状态：明确问题的状态，即问题的子问题是什么，以及如何表示子问题的状态。状态的选择通常与问题的特性相关。

  2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构，确定子问题之间的关系，即如何通过子问题的最优解来求解原问题的最优解。这个关系可以用状态转移方程来表示。

  3. 确定初始条件和边界情况：确定初始状态和边界情况，即最简单的子问题的解。

  4. 计算顺序：确定计算子问题的顺序，通常是自底向上或者自顶向下的方式。

  5. 计算最优解：根据状态转移方程和初始条件，计算子问题的最优解，并逐步计算得到原问题的最优解。

动态规划的应用案例

动态规划可以应用于各种问题领域，如：

  • 背包问题：0-1背包问题、完全背包问题等。
  • 最短路径问题：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。
  • 编辑距离问题：计算两个字符串之间的最小编辑操作次数。
  • 斐波那契数列：通过动态规划的方式计算斐波那契数列的第n项。
  • 矩阵链乘法：计算矩阵相乘的最优顺序。

具体代码分析
1. 背包问题（Knapsack Problem）：

背包问题是一个经典的优化问题，可以分为01背包问题和完全背包问题。这里以01背包问题为例，即每个物品只能选择放入背包一次或不放入。

1,动态规划解决01背包问题的代码示例：

public class KnapsackProblem {public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {int n = weights.length;int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];// 初始化第一行和第一列为0，表示没有物品或容量为0时的最大价值为0for (int i = 0; i <= n; i++) {dp[i][0] = 0;}for (int j = 0; j <= capacity; j++) {dp[0][j] = 0;}// 动态规划求解for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= capacity; j++) {if (weights[i - 1] <= j) {// 当前物品的重量小于等于背包容量，可以选择放入或不放入背包dp[i][j] = Math.max(values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1]], dp[i - 1][j]);} else {// 当前物品的重量大于背包容量，不能放入背包dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[n][capacity];}public static void main(String[] args) {int[] weights = {2, 3, 4, 5};int[] values = {3, 4, 5, 6};int capacity = 8;int maxVal = knapsack(weights, values, capacity);System.out.println("背包能够装下的最大价值为：" + maxVal);}
}

代码解释：

  • weights数组存储物品的重量，values数组存储物品的价值，capacity表示背包的容量。
  • dp是一个二维数组，dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值。
  • 动态规划的核心思想是通过填充dp数组来逐步计算最优解。
  • 外部两层循环用于遍历每个物品和每个背包容量。
  • 内部的条件判断根据当前物品的重量，决定是否放入背包以获得最大价值。
  • 最终返回dp[n][capacity]，即前n个物品在背包容量为capacity时的最大价值。
    完全背包问题是一个经典的动态规划问题，它可以描述为在给定背包容量和一组物品的情况下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。与0-1背包问题不同的是，完全背包问题中每个物品可以选择无限次放入背包。

2,完全背包问题的动态规划求解方法：

假设有N个物品，它们的重量分别为w[1], w[2], …, w[N]，价值分别为v[1], v[2], …, v[N]，背包的容量为C。我们定义一个二维数组dp[N+1][C+1]，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择，且背包容量为j时的最大总价值。

初始化dp数组中的所有元素为0。然后我们从前往后遍历物品，对于每个物品i，从容量0到C依次计算dp[i][j]的值。

对于dp[i][j]的计算，有两种情况：

  1. 不选择当前物品i：dp[i][j] = dp[i-1][j]，即背包容量为j时，前i个物品的最大总价值与前i-1个物品的最大总价值相同。
  2. 选择当前物品i：dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + v[i]，即背包容量为j时，考虑物品i放入背包，此时总价值为dp[i][j-w[i]]（在当前物品i的基础上减去物品i的重量w[i]，背包容量减少），再加上物品i的价值v[i]。

综合以上两种情况，dp[i][j]的最大值即为dp[i-1][j]和dp[i][j-w[i]] + v[i]的较大值。

最终，dp[N][C]即为问题的解，表示在前N个物品中选择，且背包容量为C时的最大总价值。

以下是完全背包问题的代码示例（使用Java语言）：

public class Knapsack {public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {int n = weights.length;int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= capacity; j++) {if (weights[i - 1] <= j) {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[n][capacity];}public static void main(String[] args) {int[] weights = {2, 3, 4, 5};int[] values = {3, 4, 5, 6};int capacity = 8;int maxTotalValue = knapsack(weights, values, capacity);System.out.println("背包中物品的最大总价值为：" + maxTotalValue);}
}

这个示例代码中，weights数组和values数组分别表示物品的重量和价值，capacity表示背包的容量。最后输出的maxTotalValue即为背包中物品的最大总价值。

2. 打家劫舍问题（House Robber Problem）：

打家劫舍问题是一个经典的动态规划问题，可以形象地描述为在一条街上的房屋中选择一些房屋进行盗窃，但不能同时盗窃相邻的房屋。目标是盗窃到的金额最大。

以下是用动态规划解决打家劫舍问题的代码示例：

public class HouseRobber {public static int rob(int[] nums) {int n = nums.length;if (n == 0) {return 0;}if (n == 1) {return nums[0];}int[] dp = new int[n];dp[0] = nums[0];dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);for(int i = 2; i < n; i++) {dp[i] = Math.max(nums[i] + dp[i - 2], dp[i - 1]);}return dp[n - 1];}public static void main(String[] args) {int[] nums = {1, 2, 3, 1};int maxAmount = rob(nums);System.out.println("能够盗窃到的最大金额为：" + maxAmount);}
}

代码解释：

  • nums数组存储每个房屋中的金额。
  • dp数组存储从第一个房屋到当前房屋的最大金额。
  • 初始化dp[0]为第一个房屋的金额，dp[1]为第一个和第二个房屋中金额较大的一个。
  • 从第三个房屋开始，每次选择盗窃当前房屋和前两个房屋中金额较大的一个，将结果存入dp[i]。
  • 最终返回dp[n - 1]，即最后一个房屋的最大金额。

3. 最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）：

最长递增子序列问题是要找到给定序列中的最长递增子序列的长度。以下是用动态规划解决最长递增子序列问题的代码示例：

public class LongestIncreasingSubsequence {public static int lengthOfLIS(int[] nums) {int n = nums.length;int[] dp = new int[n];Arrays.fill(dp, 1);for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}}int maxLength = 0;for (int len : dp) {maxLength = Math.max(maxLength, len);}return maxLength;}public static void main(String[] args) {int[] nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};int maxLength = lengthOfLIS(nums);System.out.println("最长递增子序列的长度为：" + maxLength);}
}

代码解释：

  • nums数组存储给定的序列。
  • dp数组用于记录每个位置上的最长递增子序列长度，初始值都为1。
  • 外部两层循环用于遍历每个位置，并比较当前位置与之前位置的大小关系。
  • 如果当前位置的值大于之前位置的值，则更新当前位置上的最长递增子序列长度为之前位置中最大长度加1。
  • 最终返回dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

4. 矩阵连乘积问题（Matrix Chain Multiplication）：

矩阵连乘积问题是一个经典的动态规划问题，要求找到一种最优的矩阵相乘顺序，使得整个连乘的计算量最小。以下是用动态规划解决矩阵连乘积问题的代码示例：

public class MatrixChainMultiplication {public static int matrixChainOrder(int[] dimensions) {int n = dimensions.length - 1;int[][] dp = new int[n][n];for (int len = 2; len <= n; len++) {for (int i = 0; i < n - len + 1; i++) {int j = i + len - 1;dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;for (int k = i; k < j; k++) {int cost = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + dimensions[i] * dimensions[k + 1] * dimensions[j + 1];if (cost < dp[i][j]) {dp[i][j] = cost;}}}}return dp[0][n - 1];}public static void main(String[] args) {int[] dimensions = {10, 30, 5, 60};int minCost = matrixChainOrder(dimensions);System.out.println("最小的矩阵连乘积计算量为：" + minCost);}
}

代码解释：

  • dimensions数组存储矩阵的维度信息，如[10, 30, 5, 60]表示有三个矩阵，维度分别为10x30、30x5和5x60。
  • dp数组用于记录每个子问题的最小计算量。
  • 外部两层循环用于遍历子问题的长度，从2开始逐步增加。
  • 内部的循环用于遍历每个子问题的起始位置和结束位置，并计算当前情况的最小计算量。
  • 在内部循环中，通过尝试不同的划分点，计算出将两个子问题相乘的计算量，并选择最小的计算量作为当前子问题的最优解。
  • 最终返回dp[0][n - 1]，即整个矩阵连乘的最小计算量。

总结

动态规划是一种将复杂问题化繁为简的求解方法。通过将问题划分为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。动态规划的核心思想是重叠子问题和最优子结构。通过定义状态、确定状态转移方程、确定初始条件和边界情况、计算顺序以及计算最优解这几个步骤，我们可以有效地应用动态规划解决各种问题。

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.mzph.cn/news/617280.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

BSP视频教程第29期：J1939协议栈CAN总线专题，源码框架，执行流程和应用实战解析，面向车通讯，充电桩，模组通信等(2024-01-08)

BSP视频教程第29期：J1939协议栈CAN总线专题，源码框架，执行流程和应用实战解析，面向车通讯，充电桩，模组通信等(2024-01-08)

视频教程汇总帖&#xff1a;【学以致用&#xff0c;授人以渔】2024视频教程汇总&#xff0c;DSP第12期&#xff0c;ThreadX第9期&#xff0c;BSP驱动第29期&#xff0c;USB实战第5期&#xff0c;GUI实战第3期&#xff08;2024-01-08&#xff09; - STM32F429 - 硬汉嵌入式论坛 …
阅读更多...
VBA_MF系列技术资料1-310

VBA_MF系列技术资料1-310

MF系列VBA技术资料 为了让广大学员在VBA编程中有切实可行的思路及有效的提高自己的编程技巧&#xff0c;我参考大量的资料&#xff0c;并结合自己的经验总结了这份MF系列VBA技术综合资料&#xff0c;而且开放源码&#xff08;MF04除外&#xff09;&#xff0c;其中MF01-04属于…
阅读更多...
DNS劫持是怎么回事？DNS劫持如何预防？（国科云）

DNS劫持是怎么回事？DNS劫持如何预防？（国科云）

DNS劫持是一种常见的网络攻击手段&#xff0c;攻击者通过DNS缓存投毒、NS篡改等手段&#xff0c;将用户解析的目标地址重定向至受攻击者控制的恶意网站&#xff0c;从而窃取用户的敏感信息或进行其他违法操作。因此&#xff0c;了解DNS劫持的原理和危害&#xff0c;并采取有效的…
阅读更多...
46. 全排列（回溯）

46. 全排列（回溯）

同样是回溯算法&#xff0c;相比于前两道题 77. 组合&#xff08;回溯&#xff09; 17. 电话号码的字母组合&#xff08;回溯&#xff09; 这道题中&#xff0c;对于回溯遍历的内容可以使用一个boolean数组来进行标记判断 class Solution {public List<List<Integer>…
阅读更多...
c++隐式类型转换与explicit

c++隐式类型转换与explicit

我们知道&#xff0c;一个float与int做运算时&#xff0c;系统会首先个int类型转换为float类型之后再进行运算&#xff0c;这种隐式类型转换也会发生在类中 看以下例子&#xff0c;定义一个类 class myTime { public:int Hour;myTime() {};myTime(int h) :Hour(h) {}; }; 在…
阅读更多...
用通俗易懂的方式讲解：一文讲透最热的大模型开发框架 LangChain

用通俗易懂的方式讲解：一文讲透最热的大模型开发框架 LangChain

在人工智能领域的不断发展中&#xff0c;语言模型扮演着重要的角色。特别是大型语言模型&#xff08;LLM&#xff09;&#xff0c;如 ChatGPT&#xff0c;已经成为科技领域的热门话题&#xff0c;并受到广泛认可。 在这个背景下&#xff0c;LangChain 作为一个以 LLM 模型为核…
阅读更多...
printk的使用与理解

printk的使用与理解

文章目录 一、理清printk二、printk的使用三、printk的打印级别1、基本解释2、详细解释3、如何修改console_loglevel、default_message_loglevel、minimum_console_loglevel、default_console_loglevel的值 四、printk的输出地方五、其它 一、理清printk printk如何使用&#…
阅读更多...
LeetCode906. Super Palindromes

LeetCode906. Super Palindromes

文章目录 一、题目二、题解 一、题目 Let’s say a positive integer is a super-palindrome if it is a palindrome, and it is also the square of a palindrome. Given two positive integers left and right represented as strings, return the number of super-palindr…
阅读更多...
RabbitMQ安装和快速入门

RabbitMQ安装和快速入门

文章目录 1. RabbitMQ2. 安装RabbitMQ2.1 创建shell文件2.2 编写shell文件2.3 检查rabbitmq状态2.4 设置开机自启动2.5 启动插件2.6 开放端口号2.7 创建用户2.8 登入管理页面 3. SpringBoot中集成RabbitMQ3.1 依赖安装3.2 SpringBoot配置3.3 RabbitMQ的配置类3.4 定义消费者和生…
阅读更多...
Redis-集群

Redis-集群

主从哨兵集群分布部署 2、哨兵模式 除了redisl master、redis slave&#xff0c;我们有另外的一个节点&#xff0c;叫redis Sentinel啊。redis Sentinel会去同时连接master和slave啊。这个sentinel&#xff0c;它是同时和我们对应的master和slave&#xff0c;保持了一个心跳的…
阅读更多...
jmeter--2.常用组件以及作用域

jmeter--2.常用组件以及作用域

目录 1.常用的组件以及执行顺序 2.常用的组件作用 2.1 测试计划&#xff1a;jmeter启动&#xff0c;其它组件的容器 2.2 线程组&#xff08;测试片段&#xff09;&#xff1a;代表一定虚拟用户数&#xff0c;测试片段代表模块 2.3 配置元件&#xff1a;配置信息 2.4 前置处…
阅读更多...
设计一个简易版的数据库路由

设计一个简易版的数据库路由

&#x1f44f;作者简介&#xff1a;大家好&#xff0c;我是爱吃芝士的土豆倪&#xff0c;24届校招生Java选手&#xff0c;很高兴认识大家&#x1f4d5;系列专栏&#xff1a;Spring原理、JUC原理、Kafka原理、分布式技术原理、数据库技术&#x1f525;如果感觉博主的文章还不错的…
阅读更多...
如何解决TCP拥塞问题？

如何解决TCP拥塞问题？

目录 流量控制 流量整形和限速 拥塞感知和路由优化 负载均衡 网络优化 流量控制 加强网络质量管理&#xff0c;例如提高宽带、加速网络、限制宽带占用、 实施流量控制机制&#xff0c;如拥塞控制算法&#xff0c;通过动态调整数据包发送速率来避免网络拥塞。 使用拥塞避…
阅读更多...
DETR tensorRT 的 C++ 部署

DETR tensorRT 的 C++ 部署

DETR tensorRT 的 C 部署 本篇说说DETR tensorRT 的 C 部署。 【完整代码、模型、测试图片】 1 导出 onnx 模型&#xff08;建议先看&#xff09; 方法1&#xff1a;导出DETR onnx并修改模型输出Gather层&#xff0c;解决tesorrt 推理输出结果全为0问题&#xff0c;参考【D…
阅读更多...
数据类型、数据类型转换（Java）

数据类型、数据类型转换（Java）

一、数据类型的分类 1. byte&#xff1a;1字节&#xff0c;-128~127 2. short&#xff1a;2字节&#xff0c;-32768~32767 3. int&#xff1a;4字节 默认整型 4. long&#xff1a;8字节 注意&#xff1a;随便写一个整型字面量会默认是整型的&#xff0c;所以我们在写一个…
阅读更多...
加速 Android Studio 依赖项下载

加速 Android Studio 依赖项下载

在某些网络环境中&#xff0c;访问互联网可能受到限制&#xff0c;在Android Studio中&#xff0c;项目构建时可能需要下载依赖项&#xff0c;如果网络受到限制&#xff0c;就无法下载或下载速度非常慢只有十几 kb/s &#xff0c;设置可以帮助解决下载问题。 进入设置页面找到…
阅读更多...
RTC wake sotp

RTC wake sotp

static void RTC_Config(void) { RTC_InitTypeDef RTC_InitStructure; RTC_TimeTypeDef RTC_TimeStructure; uint32_t LSIFreq 0; RCC_BackupResetCmd(ENABLE);RCC_BackupResetCmd(DISABLE);//增加避免 复位脚引起初始化不通过&#xff01; /* Enab…
阅读更多...
每日算法打卡：机器人跳跃 day 11

每日算法打卡：机器人跳跃 day 11

文章目录 原题链接题目描述输入格式输出格式数据范围输入样例1&#xff1a;输出样例1&#xff1a;输入样例2&#xff1a;输出样例2&#xff1a;输入样例3&#xff1a;输出样例3&#xff1a; 题目分析示例代码 原题链接 730. 机器人跳跃问题 题目难度&#xff1a;中等 题目来…
阅读更多...
【2024.1.12】C++STL容器常用方法

【2024.1.12】C++STL容器常用方法

Vector 1.构造函数 #include <vector> //直接通过数组创建一个vector vector<int> vecA {1, 2, 3, 4};//复制迭代器区间内的元素到vector中 vector<int> vecB(vecA.begin(), vecA.end());//复制另一个数组的元素到vector中 int Array[4] {1, 2, 3, 4}; v…
阅读更多...
Pandas实战100例 | 案例 2: 数据探索 - 查看和理解数据

Pandas实战100例 | 案例 2: 数据探索 - 查看和理解数据

案例 2: 数据探索 - 查看和理解数据 知识点讲解 在数据分析的早期阶段&#xff0c;对数据进行初步的探索是非常重要的。这包括查看数据的基本信息、统计摘要、以及数据的形状。 示例代码 查看数据的基本信息 # 显示 DataFrame 的基本信息&#xff0c;包括列名、非空值数量…
阅读更多...
最新文章

Copyright @ 2022~2023