动态规划入门第1课

1、从计数到选择 ---- 递推与DP（动态规划）

2、从递归到记忆 ---- 子问题与去重复运算

3、动态规划的要点

第1题网格路1(grid1)

小x住在左下角(0,0)处，小y在右上角(n,n)处。小x需要通过一段网格路才能到小y家。每次，小x可以选择下面任意一个方向前进：

右方：从(x,y)到点(x+1,y)；
上方：从(x,y)到点(x,y+1)；
右上方：从(x,y)到点(x+1,y+1)。

问小x有多少种走法到达小y家。

输入格式

一行，一个整数n。1 ≤ n ≤ 500

输出格式

你的答案除以1 000 000 007的余数。

输入/输出例子1

输入：

输出：

样例解释

无

代码奉上：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
long long f[505][505];
const long long mod=1000000007;
int main(){scanf("%lld",&n);n+=1; 				//题目中是（0，0）到（n，n），我为了防止数组越界，要+1，也会方便很多。f[0][0]=1; 			//初始化。for(long long i=1;i<=n;i++) for(long long j=1;j<=n;j++)f[i][j]=(f[i-1][j-1]%mod+f[i-1][j]%mod+f[i][j-1]%mod)%mod; //动态转移方程。printf("%d\n",f[n][n]%mod); return 0;
}

小问题推导大问题 ------ 子问题概念

测试2

第1题好的序列(seq)

一个长为k的序列b1, b2, ..., bk (1 ≤ b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bk ≤ n)，如果对所有的 i (1 ≤ i ≤ k - 1)，满足bi | bi+1，那么它就是好的序列。这里a | b表示a是b的因子，或者说a能整除b。

给出n和k，求长度为k的好的序列有多少个。

输入格式

一行，两个整数n,k。1 ≤ n,k ≤ 2000

输出格式

你的答案除以1 000 000 007的余数。

输入/输出例子1

输入：

3 2

输出：

样例说明

[1, 1], [2, 2], [3, 3], [1, 2], [1, 3]。

样例解释

无

代码奉上：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define rr register
using namespace std;
int cwh=1000000007,n,k,f[2005][2005],ans;//用cwh表示1000000007更方便。
int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);for(rr int i=1;i<=n;i++)f[1][i]=1;//赋值for(rr int i=1;i<=k;i++)//长度for(rr int j=n;j>0;j--)for(rr int k=1;k<=n/j;k++)//倍数f[i][j*k]=(f[i][j*k]+f[i-1][j])%cwh;//方程for(rr int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[k][i])%cwh;//求答案printf("%d",ans);return 0;
}

小问题推导大问题

两个方向：改进后面；从前面得到；

测试3

第1题卡牌游戏(card)

有三种卡牌，记为A,B,C类型。每轮，小x可以选择的出牌方法有：

打出一张A牌；
打出一张B牌；
打出一张A牌和一张C牌；
打出两张B牌和三张C牌。

问小x有多少种方法出完所有的牌。只要有一轮出牌的方法不一样，就算作不同的方法。

输入格式

一行，三个整数a,b,c，依次表示卡牌A,B,C的数量。1 ≤ a,b,c ≤ 15

输出格式

你的答案除以1 000 000 007的余数。

输入/输出例子1

输入：

2 2 3

输出：

样例解释

无

代码奉上：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,c;
int f[55][55][55];
const int mod=1000000007;
int main(){cin>>a>>b>>c;f[0][0][0]=1; 			for(int i=0;i<=a;i++){for(int j=0;j<=b;j++){for(int k=0;k<=c;k++){		//枚举A，B，C卡牌的数量if(i>=1){f[i][j][k]+=f[i-1][j][k];f[i][j][k]%=mod;}	//DP，记得特判，不然会越界。下同。if(j>=1){f[i][j][k]+=f[i][j-1][k]%mod;f[i][j][k]%=mod;}if(i>=1 && k>=1){f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]%mod;f[i][j][k]%=mod;}if(j>=2 && k>=3){f[i][j][k]+=f[i][j-2][k-3]%mod;f[i][j][k]%=mod;}}}}cout<<f[a][b][c]%mod<<endl;return 0;
}

大问题分解为小问题 ------ 状态概念

小问题推导出大问题 ------- 计算方法；方程

f[ a ][ b ][ c ] =？

测试4

第1题四面体(tetra)

一只蚂蚁从点A出发，每次行动可沿四面体的边来到另外一个点。问n次行动后，蚂蚁回到点A有多少种方法。

输入格式

一行，一个整数n。1 ≤ n ≤ 10^6

输出格式

你的答案除以1 000 000 007的余数。

输入/输出例子1

输入：

输出：

样例解释

无

代码奉上：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
long long f[1000000][6];
const long long mod=1000000007;
int main(){scanf("%lld",&n);f[0][1]=1;for(int i=1;i<=n;i++){f[i][1]=(f[i-1][2]%mod+f[i-1][3]%mod+f[i-1][4]%mod)%mod;f[i][2]=(f[i-1][1]%mod+f[i-1][3]%mod+f[i-1][4]%mod)%mod;f[i][3]=(f[i-1][2]%mod+f[i-1][1]%mod+f[i-1][4]%mod)%mod;f[i][4]=(f[i-1][2]%mod+f[i-1][3]%mod+f[i-1][1]%mod)%mod;}printf("%d\n",f[n][1]);return 0;
}

状态与阶段

测试5
第1题网格取数1

有N*M的方格，每个方格里面有一个数字。你从左上角开始出发，每次可以进入右边一个方格或下面一个方格，不准出界。

问你选择怎样的线路到达右下角时，线路上的数字和最大？

例如下面是一个4*3的方格，最优的路线如图所示：

输入格式

第1行：2个正整数N和M，范围[2,100]。

下面N行，每行M个整数，每个整数范围[-100,100]

输出格式

一个整数。

输入/输出例子1

输入：

3 3

1 2 3

4 5 6

9 9 9

输出：

样例解释

无

代码奉上：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,a[1005][1005],b[1005][1005];
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>a[i][j];}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(i==1&&j==1)b[i][j]=a[i][j];else if(i==1)b[i][j]=b[i][j-1]+a[i][j];else if(j==1)b[i][j]=b[i-1][j]+a[i][j];else b[i][j]=(b[i-1][j]>b[i][j-1])?b[i-1][j]+a[i][j]:b[i][j-1]+a[i][j];}}cout<<b[n][m];return 0;
}