一、次小生成树

次小生成树是指在给定的无向图中，如果存在最小生成树和次小生成树，那么对于任何一颗最小生成树来看，都存在一颗次小生成树，使得这两棵树只有一条边不同。次小生成树的边权和大于等于最小生成树的另一颗树，也就是边权之和第二小的生成树。如果有严格次小生成树和非严格次小生成树之分，边权之和严格大于最小生成树的且权值最小的树，就是严格次小生成树。若求得的另一颗树与最小生成树权值相等，则为非严格的次小生成树。

非树边w的值域是一定$\ge$dist1 否则在当w$<$dist1,则之前kruskal求最小生成树的时候把w替换dist1连接a和b，就得到一个更小的生成树（看下图所示）。

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二、如何求次小生成树？

从非树边中找到一条严格大于树边的边取而代之,至于去掉树中哪条边.因为要求数的权值次小,所以我们发现只要去掉树中最大边就可以让树的权值尽可能的小,然后从所有非树边中找一条边取代树中最大的边,每次取一次Min就可以找到次小生成树。

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三、LCA+Kruskal

题目：次小生成树

给定一张 $N$个点 $M$条边的无向图，求无向图的严格次小生成树。
设最小生成树的边权之和为 $sum$，严格次小生成树就是指边权之和大于 $sum$的生成树中最小的一个。

输入格式
第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

接下来 $M$行，每行包含三个整数 $x$，$y$，$z$，表示点 $x$和点 $y$之前存在一条边，边的权值为 $z$。

输出格式
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

数据范围
$N\le 10^5,M\le 3\times 10^5$
$1\le x,y\le N$
$0\le z\le 10^6$
输入样例：
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
输出样例：
11

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdio>
using namespace std;const int N=1e5+10,M=6*N,INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int n,m;
int p[N];
int f[N][20];  //f[i][j]:i点跳2^j次能跳到的点.
int d1[N][20],d2[N][20];  //d1[i][j]:i点到2^j路径中跳的最大边,d2[i][j]:i点到2^j路径中跳的次大边
int depth[N];
bool st[N];struct Edge{int a,b,c;bool used=false;   //该边是否被在树中bool operator<(const Edge &t)const{return c<t.c;}
}edge[M];//并查集
int find(int x){if(x!=p[x]) p[x]=find(p[x]);return p[x];
}void add(int a,int b,int c){e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}//求最小生成树
ll kruskal(){ll res=0;for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;sort(edge,edge+m);for(int i=0;i<m;i++){int pa=find(edge[i].a),pb=find(edge[i].b),c=edge[i].c;if(pa!=pb){edge[i].used=true;p[pa]=pb;res+=c;}}return res;
}//建立最小生成树图
void build(){memset(h,-1,sizeof h);for(int i=0;i<m;i++){if(edge[i].used){int a=edge[i].a,b=edge[i].b,c=edge[i].c;add(a,b,c);add(b,a,c);}}
}//预处理
void bfs(){memset(depth,0x3f,sizeof depth);queue<int> q;depth[0]=0;depth[1]=1;q.push(1);st[1]=true;while(q.size()){int t=q.front();q.pop();st[t]=false;for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(depth[j]>depth[t]+1){depth[j]=depth[t]+1;f[j][0]=t;d1[j][0]=w[i],d2[j][0]=-INF;for(int k=1;k<=16;k++){int one_step=f[j][k-1];f[j][k]=f[one_step][k-1];int dist[]={d1[j][k-1],d2[j][k-1],d1[one_step][k-1],d2[one_step][k-1]};for(int u=0;u<4;u++){int d=dist[u];if(d>d1[j][k]){d2[j][k]=d1[j][k];d1[j][k]=d;}else if(d!=d1[j][k] && d>d2[j][k]) d2[j][k]=d;}}if(!st[j]){q.push(j);st[j]=true;}}}}
}//寻找a和b路径中数的最大边
int lca(int a,int b,int c){int dist[N*3];int cnt=0;if(depth[a]<depth[b]) swap(a,b);for(int k=16;k>=0;k--){if(depth[f[a][k]]>=depth[b]){dist[cnt++]=d1[a][k];dist[cnt++]=d2[a][k];a=f[a][k];}}if(a!=b){for(int k=16;k>=0;k--){if(f[a][k]!=f[b][k]){dist[cnt++]=d1[a][k];dist[cnt++]=d2[a][k];dist[cnt++]=d1[b][k];dist[cnt++]=d2[b][k];a=f[a][k];b=f[b][k];}}//跳的最后一步dist[cnt++]=d1[a][0];dist[cnt++]=d1[b][0];dist[cnt++]=d2[a][0];dist[cnt++]=d2[b][0];}int dist1=-INF,dist2=-INF;for(int i=0;i<cnt;i++){int d=dist[i];if(d>dist1){dist2=dist1;dist1=d;}else if(d!=dist1 && d>dist2){dist2=d;}}if(c!=dist1 && c>dist1) return c-dist1;if(c!=dist2 && c>dist2) return c-dist2;return INF;}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);edge[i]={a,b,c};}ll sum=kruskal();  //最小生成树的权值build();   //建立最小生成树bfs();   //预处理f,depth,d1,d2ll ans=1e18;for(int i=0;i<m;i++){if(edge[i].used==false){int a=edge[i].a,b=edge[i].b,c=edge[i].c;ans=min(ans,sum+lca(a,b,c));}}printf("%lld",ans);return 0;}