题目描述

2397. 被列覆盖的最多行数

给你一个下标从 0 开始、大小为 m x n 的二进制矩阵 matrix ；另给你一个整数 numSelect，表示你必须从 matrix 中选择的 不同 列的数量。

如果一行中所有的 1 都被你选中的列所覆盖，则认为这一行被 覆盖 了。

你需要从矩阵中选出 numSelect 个列，使集合覆盖的行数最大化。

返回一个整数，表示可以由 numSelect 列构成的集合 覆盖 的 最大行数 。

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 12
• matrix[i][j] 要么是 0 要么是 1
• 1 <= numSelect <= n

简单枚举

对于很多算法问题，最直接的想法就是枚举，这题也可以用简单枚举解决：

1. 在n列中选出numSelect个，总量是可以枚举出来的，由于n<=12，所以总量也是可控的。
   • 以$n=3$，$numSelect=2$为例，所有可能的选择情况有$[0,1,1]$、$[1,0,1]$、$[1,1,0]$
2. 以上一步所有可能的选择情况，分别对比每一行，看是否能覆盖
3. 覆盖行数最多的情况就是最终答案

简单枚举的思路简单，但实现起来却没那么简单，时间复杂度也高，光是枚举所有可能的列选择情况，就至少有 $C_n^{numSelect}=\frac{n!}{numSelect!\times (n-numSelect)!}$ 种，对于每一种枚举情况又要遍历每一行的所有元素，也就是$O(m\times n)$

二进制枚举

在简单枚举的基础上，可以想到二进制枚举。也就是用一个数的二进制来表示列选择情况，结合位运算就可以提升复杂度。

同时将每一行对应的数字看作二进制，计算对应的数字。

以输入： matrix = [[0,0,0],[1,0,1],[0,1,1],[0,0,1]], numSelect = 2为例

1. 把每一行对应数字看作二进制，分别是000、101、011、001，计算成数字分别是0、5、3、1。
2. 使用二进制表示列选择，1表示选中，0表示不选中。那么所有可能的列选择有0(000)、1(001)、2(010)、3(011)、4(100)、5(101)、6(110)、7(111)
3. 其中$1的个数\ne numSelect$的情况，表示选中的列数量不等于numSelect，明显不符合要求，可以直接跳过。
4. 对于符合要求的每种列选择，也就是每一个数字（3、5、6）
   • 遍历每一行，这里是第1步中每一行计算出的数字
   • 列选择对应的数字与行对应的数字做&运算，如果结果还是列选择对应的数字，表示列选择覆盖了这一行

代码实现代码：

class Solution {
private:int num1ofInt(int n) {// 计算n的二进制表示中1的个数int res = 0;while(n > 0) {res += (n & 1);n >>= 1;}return res;}
public:int maximumRows(vector<vector<int>>& matrix, int numSelect) {int rowNum = matrix.size();int colNum = matrix[0].size();vector<int> states = vector<int>(rowNum, 0);for(int i = 0;i < rowNum;++i) {for(int j = 0;j < colNum;++j) {states[i] += (matrix[i][j] << (colNum - j - 1));}}int res = 0;int permutationNum = (1 << colNum);// 0 表示一列也不选，不满足要求for(int i = 1;i < permutationNum;++i) {if(num1ofInt(i) != numSelect) {continue;}int t = 0;for(int j = 0;j < rowNum;++j) {if((states[j] & i) == states[j]) {++t;}}res = max(res, t);}return res;}
};

其中自己实现的num1ofInt()可以用__builtin_popcount()代替，其作用是：

This function is used to count the number of set bits in an unsigned integer. In other words, it counts the number of 1’s in the binary form of a positive integer.

该函数用来统计正整数的二进制表示中1的个数

Gosper’s Hack

在上述实现中，为了筛选出不符合条件的枚举，增加if(__builtin_popcount(i) != numSelect) { continue; }的判断，有没有方法去掉该判断，只遍历符合条件的枚举呢？

这正是Gosper’s Hack的用武之地！

什么是Gosper’s Hack？简单来说就是：

Gosper’s Hack iterates through all n-bit values that have k bits set to 1, from lowest to highest.

遍历长度为n的二进制序列中1的数量为k的情况

这不就是为解决这里的问题而生的嘛！那如何实现呢？使用起来很简单，3行代码：

void GospersHack(int k, int n)
{int set = (1 << k) - 1;int limit = (1 << n);while (set < limit){// DoStuff(set);// Gosper's hack:int c = set & - set;int r = set + c;set = (((r ^ set) >> 2) / c) | r;}
}

这里的DoStuff()就是我们判断是否覆盖的地方。

所以使用Gosper’s Hack提升之后的代码如下 ：

class Solution {
public:int maximumRows(vector<vector<int>>& matrix, int numSelect) {int rowNum = matrix.size();int colNum = matrix[0].size();vector<int> states = vector<int>(rowNum, 0);for(int i = 0;i < rowNum;++i) {for(int j = 0;j < colNum;++j) {states[i] += (matrix[i][j] << (colNum - j - 1));}}int res = 0;int limit = (1 << colNum);int set = (1 << numSelect) - 1;while(set < limit) {// doStuffint t = 0;for(int j = 0;j < rowNum;++j) {if((states[j] & set) == states[j]) {++t;}}res = max(res, t);// Gosper's hack:int c = set & -set;int r = set + c;set = (((r ^ set) >> 2) / c) | r;}return res;}
};

本文章只介绍了Gosper’s Hack的用途和用法，至于之中原理，可以参考哈弗大学的课件，或者博客文章。

参考

1. https://leetcode.cn/problems/maximum-rows-covered-by-columns/
2. https://read.seas.harvard.edu/~kohler/class/cs207-s12/lec12.html
3. https://programmingforinsomniacs.blogspot.com/2018/03/gospers-hack-explained.html
4. https://www.wayuekeji.com/index