目录
1 函数与 向量/矩阵
2 初等数学的函数
2.1 函数
2.2 函数的定义:定义域 →映射→ 值域
3 高等数学里的函数:定义域和陪域/到达域(非值域)的映射关系
3.1 函数
3.2 单射,满射,双射等都是针对定义域 和 陪域的
3.3 易错地方:值域较小且是被决定的
3.4 单射,满射,双射
4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵
4.1 函数和反函数
4.2 矩阵和逆矩阵 (待完善)
1 函数与 向量/矩阵
下面两者形式类似,本质也类似
- 函数的: ax=y ,常规函数里,a,x,y 一般都是单个数
- 矩阵: AX=Y , 矩阵乘法,这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵
- 线性代数,就是处理 数组和矩阵(数组的数组)的学科
2 初等数学的函数
2.1 函数
形如 ax=y=f(x)的就是函数
- 自变量 input:x ,原像
- 因变量 output:y=f(x) ,像
- 函数/变化规则/映射法则 function :f
- 定义域domain: 自变量x的取值范围就是定义域,集合x
- 值域 range: 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合?
2.2 函数的定义:定义域 →映射→ 值域
从映射的角度来看,定义域,值域
- 函数定义域里的每个值x,必须有且只有一个值y与之对应
- 每个x不能是0个y对应
- 每个x都必须对应1个y
- 每个x不能对应多个y
- 函数值域里的每个值y,必须有一个定义域的x与之对应
- 每个y都有1个x对应
- 有的y可能都多个x对应到它
如果从图形上来说
- 函数f(x) 是从定义域 → 值域
- 下面定义域里打叉×的点都是错的
- 下面值域里打叉×的点都是错的
3 高等数学里的函数:定义域和陪域/到达域(非值域)的映射关系
3.1 函数
形如 ax=y=f(x)的就是函数
- 自变量 input:x ,原像
- 因变量 output:y=f(x) ,像
- 函数/变化规则/映射法则 function :f
- 定义域domain: 自变量x的取值范围就是定义域,集合x
- 值域 range: 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合?
- 陪域/ 到达域codomain :因变量f(x)=y 可能的范围,集合y
3.2 单射,满射,双射等都是针对定义域 和 陪域的
- 理清概念
- 这个只针对 定义域 → 陪域/到达域
- 不针对 定义域 → 值域
- 就这么简单粗暴
- 前面的函数的映射定义,可能算初等数学的把
- 这个加入了 陪域/到达域的映射定义,可能算高等函数的把
3.3 易错地方:值域较小且是被决定的
- 定义域,值域取值范围都选 R 或者 R+
- 而值域,一般不存在选范围的问题,因为是同感 y=f(x) 一一映射决定的,一般肯定都是R的一个较小的子集!!
比如提前一个例题
- 为什么y=x^2 不是满射,因为都是针对 定义域 R→ 陪域/到达域R,而值域是R+,因此不是满射
3.4 单射,满射,双射
- 非函数: 定义域里有的x对应了多个y,这种情况还是非函数
- 单射: 定义域里的每个x 都有唯一的y对应。(但是有的y可能没有x对应)
- 非单射: 定义域里的每个x 都有y对应,但是可能对应相同的y
- 满射: 到达域里(非值域)的每个y 都有x对应 (但是有的y可能对应的2个x)
- 非满射: 到达域里(非值域)不是每个y 都有x对应,有些y值没有x映射
- 特例
- 双射: 定义域中的x 和值域中y 分别一一对应
- 双射的意义,只有满秩的双射矩阵,一定可逆矩阵(见下面)
- 单射非满射: 普通单射,只单射,不满射
- 单射&满射: 双射
- 非单射&满射:
- 非单射&非满射:
4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵
双射的意义,只有满秩的双射矩阵,一定可逆矩阵(见下面)
- 普通函数,直接让y 映射到x,很可能就不是函数
- 下面图可以看到,直接让y 映射到x,很可能1个y会映射多个x,这样就不是函数
4.1 函数和反函数
如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y)
- 如果x和y调换,如果不是满射,反过来就不是单射,函数就不存在反函数
- 所以 函数必须是 双射,这个函数才会有反函数。
- 双射的函数,一定有反函数,见下图
4.2 矩阵和逆矩阵 (待完善)
- 同理,矩阵必须是满秩的,才会有逆矩阵
- 详细的需要写