终于结束的起点

题目背景

终于结束的起点
终于写下句点
终于我们告别
终于我们又回到原点
……

一个个 OIer 的竞赛生涯总是从一场 NOIp 开始，大多也在一场 NOIp 中结束，好似一次次轮回在不断上演。
如果这次 NOIp 是你的起点，那么祝你的 OI 生涯如同夏花般绚烂。
如果这次 NOIp 是你的终点，那么祝你的 OI 回忆宛若繁星般璀璨。
也许这是你最后一次在洛谷上打比赛，也许不是。
不过，无论如何，祝你在一周后的比赛里，好运。

当然，这道题也和轮回有关系。

题目描述

广为人知的斐波拉契数列 $\mathrm{fib}(n)$ 是这么计算的

$$\mathrm{fib}(n)=\{\begin{array}{ll}0,& n=0\\ 1,& n=1\\ \mathrm{fib}(n-1)+\mathrm{fib}(n-2),& n>1\end{array}$$

也就是 $0,1,1,2,3,5,8,13\cdots$，每一项都是前两项之和。

小 F 发现，如果把斐波拉契数列的每一项对任意大于 $1$ 的正整数 $M$ 取模的时候，数列都会产生循环。

当然，小 F 很快就明白了，因为 ($\mathrm{fib}(n-1)\mathrm{mod}M$) 和 ($\mathrm{fib}(n-2)\mathrm{mod}M)$ 最多只有 $M^2$ 种取值，所以在 $M^2$ 次计算后一定出现过循环。

甚至更一般地，我们可以证明，无论取什么模数 $M$，最终模 $M$ 下的斐波拉契数列都会是 $0,1,\cdots ,0,1,\cdots$。

现在，给你一个模数 $M$，请你求出最小的 $n>0$，使得 $\mathrm{fib}(n)\mathrm{mod}M=0,\mathrm{fib}(n+1)\mathrm{mod}M=1$。

输入格式

输入一行一个正整数 $M$。

输出格式

输出一行一个正整数 $n$。

样例 #1

样例输入 #1

2

样例输出 #1

3

样例 #2

样例输入 #2

6

样例输出 #2

24

提示

样例 1 解释

斐波拉契数列为 $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$，在对 $2$ 取模后结果为 $0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,\cdots$。

我们可以发现，当 $n=3$ 时，$f(n)\mathrm{mod}2=0,f(n+1)\mathrm{mod}2=1$，也就是我们要求的 $n$ 的最小值。

数据范围

对于 $30\%$ 的数据，$M\le 18$；

对于 $70\%$ 的数据，$M\le 2018$；

对于 $100\%$ 的数据，$2\le M\le 706150=\text{0xAC666}$。

提示

如果你还不知道什么是取模 $(\mathrm{mod})$，那我也很乐意告诉你，模运算是求整数除法得到的余数，也就是竖式除法最终「除不尽」的部分，也即
$$a\mathrm{mod}M=k⟺a=bM+k(M>0,0\le k<M)$$
其中 $a,b,k$ 都是非负整数。

如果你使用 C / C++，你可以使用 % 来进行模运算。

如果你使用 Pascal，你可以使用 mod 来进行模运算。

解题思路

• 首先写出斐波那契数列，然后根据题意进行判断，最终得出结果。

Code

#include<iostream>
#include<vector>using namespace std;int n;
vector<int> nums(5);int main() {cin >> n;nums[0] = 0;nums[1] = 1;for (int i = 1;; i++) {int tmp = nums[0];nums[0] = nums[1];nums[1] = (tmp + nums[1]) % n;if (nums[0] % n == 0 && nums[1] % n == 1) {cout << i;break;}}return 0;
}

运行结果