第二部分 离散型随机变量

目录

求分布律里的未知数

例1

例2

根据X的分布律写Y的分布律

例3

根据(X,Y)的分布律写Z的分布律

例4

根据(X,Y)的分布律写边缘分布律 

例5

X与Y相互独立时的联合分布律 

例6

根据分布律求期望、方差 

例7


求分布律里的未知数
例1

已知X的分布律为

X-202
P0.40.3k
,试求k


0.4+0.3+k=1  →   k = 0.3 
例2

设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X\Y01
0\frac{2}{3}\frac{1}{12}
1a\frac{1}{12}

2/3+1/12+a+1/12=1  →  a=1/6

根据X的分布律写Y的分布律
例3

已知X的分布律为

X-202
P0.40.30.3
求Y=X*X+1的分布律

方法:
在分布律中X以及X的取值是可以同时变化的
例如
X*2-2*20*22*2
P0.40.30.6
X*X(-2)*(-2)0*02*2
P0.40.30.3
本题我们需要下面这个表
X*X+1(-2)*(-2)+1=50*0+12*2+1=5
P0.40.30.3

Y15
P0.30.7
根据(X,Y)的分布律写Z的分布律
例4

已知(X,Y)的分布律为

X\Y-101
00\frac{1}{3}0
1\frac{1}{3}0\frac{1}{3}

求Z=XY的分布律

X\Y-101
0Z=0*(-1)=0Z=0*0=0Z=0*1=0
1Z=1*(-1)=1Z=1*0=0Z=1*1=0
Z-101
P\frac{1}{3}\frac{1}{3}\frac{1}{3}
根据(X,Y)的分布律写边缘分布律 
例5

已知(X,Y)的分布律为

X\Y-101
00\frac{1}{3}0
1\frac{1}{3}0\frac{1}{3}
求随机变量X,Y的边缘分布律

X0        1
P\frac{1}{3}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
Y-101
P\frac{1}{3}\frac{1}{3}\frac{1}{3}

根据(X,Y)分布律,对应的值的概率为该行或该列的概率的和

X与Y相互独立时的联合分布律 
例6

设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处

X\Yy1y2y3P{X=xi}
x1?\frac{1}{8}??
x2\frac{1}{8}???
P{Y=yj}\frac{1}{6}???
方法一:
每一列的和等于最下面的数P{Y=yj},每一行的和等于最右边的数P{X=xi}

方法二:

右下角的数为1,最下边所有数P{Y=yj}的和等于1,最右边所有数P{X=xi}的和等于1

方法三:
当X与Y相互独立时,每个空的概率都等于其最下面的数P{Y=yj}×其最右边的数P{X=xi}

X\Yy1y2y3P{X=xi}
x1\frac{1}{24}\frac{1}{8}\frac{1}{12}\frac{1}{4}
x2\frac{1}{8}\frac{3}{8}\frac{1}{4}\frac{3}{4}
P{Y=yj}\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{1}{3}1
根据分布律求期望、方差 
例7

已知X的分布律为

X-202
P0.40.30.3

Y的分布律为

Y15
P0.30.7
试求(EX、EY、E(X^2)、E(Y^3+1)、E(3X+5Y+7))求期望、(DX)求方差


对于单一字母的期望
期望的值为每列上面的数×下面的数相加
EX=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2

EY=1×0.3+5×0.7=3.8
X*X(-2)*(-2)=40*02*2=4
P0.40.30.3
E(X^2)=(-2)×(-2)×0.4+0×0×0.3+2×2×0.3=2.8
Y^3+11^3+1=25^3+1=126
P0.30.7

E(Y^3+1)=(1^3+1)×0.3+(5^3+1)×0.7=88.8

对于E(3X+5Y+7)
方法:
E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c


E(3X+5Y+7)=3EX+5EY+7=3×(-0.2)+5×3.8+7=25.4

对于DX
方法:
DA=E(A^{2})-(EA)^{2}

DX=E(X^2)-(EX)^2=2.8-(-0.2)^2=2.76

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