647. 回文子串   

动态规划解决的经典题目，如果没接触过的话，别硬想 直接看题解。

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dp数组定义：布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是，dp[i][j]为true，否则为false。

递推公式：[i,j]的子串有两种情况：若s[i]==s[j]，如果[i+1,j-1]的子串是回文串，那么[i,j]的子串也为回文串。若i=j或j-i=1，那么[i,j]子串也为回文串。如果s[i]!=s[j]，那么[i,j]子串一定不为回文串。因此递推公式就是：

if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {result++;dp[i][j] = true;
}

由于dp[i][j]是由dp[i+1][j-1]推出的，因此遍历顺序要从左下到右上。也就是i--，j++：

int countSubstrings(string s) {vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));int result = 0;for (int i = s.size()-1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {result++;dp[i][j] = true;}}}return result;}

 516.最长回文子序列 

 647. 回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 大家要搞清楚两者之间的区别。 

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这道题求得是最长回文子序列，序列可以不是连续的，所以dp数组的含义就是dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

在递归方程中，dp[i][j]有两个来源，首先是s[i]和s[j]相同的情况，dp[i][j]等于dp[i+1][j-1]+2也就是子序列去掉两边的字母的序列中最长回文子序列的长度+2，不相等的情况，等于不包含两边字母的两种情况中最大的那一个。

初始化方面：首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

遍历顺序以上题类似：

int longestPalindromeSubseq(string s) {vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][s.size() - 1];}

 动态规划总结篇 

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