前言
本篇文章讲解如何通过逻辑门的形式来实现补码的乘法操作
布斯乘法
A.D.Booth提出了一种补码相乘算法,可以将符号位与数值位合在一起参与运算，直接得出用补码表示的乘积，且正数和负数同等对待。这种算法被称之为Booth (布斯)乘法
下面有两个变量值 X X X、 Y Y Y
Y Y Y用二进制表示为
Y = y n − 1 y n − 2 … y 2 y 1 y 0 Y = y_{n-1}y_{n-2}\ldots y_2y_1y_0 Y=yn−1yn−2…y2y1y0
因为Y是用补码表示的，所以Y的值可以通过下面的公式计算：
Y = − y n − 1 2 n − 1 + y n − 2 2 n − 2 + … + y 1 2 1 + y 0 2 0 = − y n − 1 2 n − 1 + ∑ i = 0 n − 2 y i 2 i = − y n − 1 2 n − 1 + y n − 2 2 n − 1 − y n − 2 2 n − 2 + … + y 1 2 2 − y 1 2 1 + y 0 2 1 − y 0 = ( y n − 2 − y n − 1 ) 2 n − 1 + ( y n − 3 − y n − 2 ) 2 n − 2 + … + ( y 0 − y 1 ) 2 1 + ( 0 − y 0 ) = ∑ i = 0 n − 1 ( y i − 1 − y i ) 2 i \begin{aligned} Y &= -y_{n-1}2^{n-1} + y_{n-2}2^{n-2} + \ldots+y_12^1+ y_02^0\\ &=-y_{n-1}2^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2}y_i2^i \\ &=-y_{n-1}2^{n-1} + y_{n-2}2^{n-1}-y_{n-2}2^{n-2}+\ldots+y_12^{2}-y_{1}2^{1}+y_02^{1}-y_0\\ &=(y_{n-2}-y_{n-1})2^{n-1}+(y_{n-3}-y_{n-2})2^{n-2}+\ldots+(y_0-y_1)2^1+(0-y_0)\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}(y_{i-1}-y_{i})2^{i} \end{aligned} Y=−yn−12n−1+yn−22n−2+…+y121+y020=−yn−12n−1+i=0∑n−2yi2i=−yn−12n−1+yn−22n−1−yn−22n−2+…+y122−y121+y021−y0=(yn−2−yn−1)2n−1+(yn−3−yn−2)2n−2+…+(y0−y1)21+(0−y0)=i=0∑n−1(yi−1−yi)2i
因为 X X X、 Y Y Y都是n位数据，所以 X × Y X\times Y X×Y可能占用2n位。
我们先假设 Y Y Y乘以 2 − n 2^{-n} 2−n
X × Y × 2 − n = X × ∑ i = 0 n − 1 ( y i − 1 − y i ) 2 i × 2 − n = X × ∑ i = 0 n − 1 ( y i − 1 − y i ) 2 − ( n − i ) = P n \begin{aligned} X\times Y\times2^{-n} &= X\times \sum_{i=0}^{n-1}(y_{i-1}-y_{i})2^{i}\times2^{-n}\\ &=X\times \sum_{i=0}^{n-1}(y_{i-1}-y_{i})2^{-(n-i)}\\ &=P_{n} \end{aligned} X×Y×2−n=X×i=0∑n−1(yi−1−yi)2i×2−n=X×i=0∑n−1(yi−1−yi)2−(n−i)=Pn
即然我们假设这个值等于 P n P_{n} Pn了，那么我们可以推测 P n − 1 P_{n-1} Pn−1的值
P n − 1 = X × ∑ i = 0 n − 2 ( y i − 1 − y i ) 2 − ( n − 1 − i ) P_{n-1} = X\times \sum_{i=0}^{n-2}(y_{i-1}-y_{i})2^{-(n-1-i)} Pn−1=X×i=0∑n−2(yi−1−yi)2−(n−1−i)
然后我们能得出两个挨着的一般性公式 P i P_{i} Pi和 P i − 1 P_{i-1} Pi−1的关系
P i = 2 − 1 ( P i − 1 + ( y i − 2 − y i − 1 ) X ) ， i = 1 , 2 … , n − 1 P_{i} = 2^{-1}(P_{i-1} + (y_{i-2}-y_{i-1})X)，i = 1,2\ldots,n-1 Pi=2−1(Pi−1+(yi−2−yi−1)X)，i=1,2…,n−1
根据上面的公式，我们发现，可以先计算 P 0 P_{0} P0，然后通过 P 0 P_{0} P0计算 P 1 P_{1} P1，然后通过 P 1 P_{1} P1计算 P 2 P_{2} P2，然后就可以依次往后计算出 P n P_{n} Pn，如果计算 X × Y X\times Y X×Y，我们可以按照下面的步骤进行：
- 假设 P 0 = 0 P_{0}=0 P0=0，假设 y − 1 = 0 y_{-1}=0 y−1=0
- 从y的最右侧位开始，先比较 y 0 y_0 y0和 y − 1 y_{-1} y−1
- 如果 y 0 y − 1 = = 00 y_0y_{-1}==00 y0y−1==00， P 0 P_0 P0右移一位
- 如果 y 0 y − 1 = = 01 y_0y_{-1}==01 y0y−1==01， P 0 + X P_0+X P0+X然后，右移一位
- 如果 y 0 y − 1 = = 10 y_0y_{-1}==10 y0y−1==10， P 0 − X P_0-X P0−X然后，右移一位
- 如果 y 0 y − 1 = = 11 y_0y_{-1}==11 y0y−1==11， P 0 P_0 P0右移一位
- 右移后得到 P 1 P_{1} P1，比较位向左移动一位，如果没有超过最大位，跳转到2
- 如果超过最高位了， P n P_n Pn就是结果
注意：在此之前，其实 P n = X × Y × 2 − n P_n =X\times Y\times2^{-n} Pn=X×Y×2−n，并且我们发现在上述步骤中结果一直在向右移，所以，我们可以把初始结果放在高n位上，这样向右移动不会丢失数据，并且也相当于乘了 2 n 2^{n} 2n，结果刚好是想要的值。
通过上面的步骤可以看出，乘法被分解成一系列加减和移位操作的顺序集合，我们之前已经实现了串行进位加法器和并行进位加法器，并且实现了一个桶形移位器
下面看一个实际的例子：
假设X = 100，Y = 120；
用二进制表示为X = 01100100，Y= 01111000，即然8位能够放下数据，为了书写方便，我们假设XY都为8位，结果为16位数据，假设结果为R = 0；
- 比较 y 0 y_0 y0与 y − 1 y_{-1} y−1, y 0 y − 1 = 00 y_0y_{-1}=00 y0y−1=00，R=00000000 00000000，右移后值不变
- 比较 y 1 y_1 y1与 y 0 y_0 y0, y 1 y 0 = 00 y_1y_0=00 y1y0=00，R=00000000 00000000，右移后值不变
- 比较 y 2 y_2 y2与 y 1 y_1 y1, y 2 y 1 = 00 y_2y_1=00 y2y1=00，R=00000000 00000000，右移后值不变
- 比较 y 3 y_3 y3与 y 2 y_2 y2, y 3 y 2 = 10 y_3y_2=10 y3y2=10，R=00000000 00000000，R-X后右移
R-X = R(高位) + (~X) + 1= 10011100 00000000，右移后为11001110 00000000
注意：是在R的高位上操作，并且右移为算数右移，补符号位 - 比较 y 4 y_4 y4与 y 3 y_3 y3, y 4 y 3 = 11 y_4y_3=11 y4y3=11，R=11001110 00000000，右移后为11100111 00000000
- 比较 y 5 y_5 y5与 y 4 y_4 y4, y 5 y 4 = 11 y_5y_4=11 y5y4=11，R=11100111 00000000，右移后为11110011 10000000
- 比较 y 6 y_6 y6与 y 5 y_5 y5, y 6 y 5 = 11 y_6y_5=11 y6y5=11，R=11110011 10000000，右移后为11111001 11000000
- 比较 y 7 y_7 y7与 y 6 y_6 y6, y 7 y 6 = 01 y_7y_6=01 y7y6=01，R=11111001 11000000，R+X后右移，R+X = 01011101 11000000， 右移后为00101110 11100000
计算完成，00101110 11100000 = 12000，与结果相符
布斯乘法在电路的实现
我们在前面讲述算法执行过程的时候，把结果数据放在了高n位，这样有两个好处：
- 正好抵消了之前公式中乘的 2 − n 2^{-n} 2−n
- 在算法执行过程中
结果数据总要右移，把结果数据放在高位，右移的时候不会丢失数据
并且每一步我们都会从右往左比较Y的位值，相当于我们每步都右移Y，然后比较Y的最低两位，但是第一步的时候我们还有一个 y − 1 = 0 y_{-1}=0 y−1=0，所以我们可以这么设计：
- 假设Y有n位，我们设计的电路有n+1根线，Y的值放在 n ～ 1 n～1 n～1位， y − 1 y_{-1} y−1的值放在0位
- 这样，每一步的比较操作我们只需要右移电路一位，然后比较最低的两位值即可
即然结果数据和Y的值都右移，并且每步骤都右移1位，那么我们可以设计一个通用的电路：
- 假设Y有n位，我们设计的电路有2n+1位，数据结果保存到 2 n ～ n + 1 2n～n+1 2n～n+1位，Y的值放在 n ～ 1 n～1 n～1位， y − 1 y_{-1} y−1的值放在0位
- 最终的结果就是高2n位的数据
下面给出电路图：
图中表示的是32位的布斯乘法电路图，电路的执行步骤如下：
- 我们假设乘积寄存器P+乘数寄存器Y+最右边保存 y − 1 y_{-1} y−1的值统称为R。
- 默认乘积寄存器P的值为0，最右边保存 y − 1 y_{-1} y−1的值为0，乘数寄存器Y的值和被乘数寄存器X的值被输入，计数器为0，时钟用来增加计数器的值
- 每一步时钟，检查R的第两位，根据值的不同执行不同的电路逻辑
- 00或者11，R右移，执行下一步
- 01，执行加法操作，结果保存到乘积寄存器P，R右移，执行下一步
- 10，执行减法操作，结果保存到乘积寄存器P，R右移，执行下一步
- 计数器等于32，输出结果乘积寄存器P+乘数寄存器Y，结束
算术一位右移
虽然我们实现了桶形移位器，但是在当前的乘法运算中，有点大材小用，如果我们仅仅实现一个一位的右移操作，电路将变得很简单，我们直接给出C语言描述git地址
/*** 单位右移操作，为了实现布斯乘法专门定义的右移电路，支持129位* in_1：128～65位，用于存放乘积寄存器P* in_2：64～1位，用于存放乘数寄存器Y* in_1：0位，用于存放临时比较的值* isLogic：是否是逻辑右移*/
extern void alu_shift_right_1(long* in_1,long* in_2,long* in_3,long isLogic);void alu_shift_right_1(long* in_1,long* in_2,long* in_3,long isLogic)
{// 先赋值最低位*in_3 = (*in_2)&1;// in_1的最低位给in_2的最高位unsigned long a = *in_2;*in_2 = (a>>1)| ((*in_1)&1)<<(sizeof(long)*8-1);// in_1右移1位if(isLogic){unsigned long b = *in_1;*in_1 = b>>1;}else{*in_1 = (*in_1)>>1;}
}
布斯乘法的C语言描述
最后给出布斯乘法的C语言描述，我们把结果存在两个long类型的数值中，out_1保存高位，out_2保存低位。git地址
/*** 使用布斯乘法算法计算两个数相乘* in_1：输入1* in_2：输入2* out_1：输出高位* out_2：输出低位*/
extern void alu_booth_times(long in_1, long in_2,long* out_1, long* out_2);void alu_booth_times(long in_1, long in_2,long* out_1, long* out_2)
{// y-1位,默认为0long lastBit = 0;// 保存结果的高位*out_1 = 0;long c = 0;// 计数器for(int i = 0; i<sizeof(long)*8;i++){long temp = in_2&1;if(temp == lastBit)// 直接右移{alu_shift_right_1(out_1,&in_2,&lastBit,0);}else if(lastBit==1)// 01,相加，然后右移{c = 0;*out_1 = alu_add_bcla_64(*out_1,in_1,sizeof(long)*8,&c);alu_shift_right_1(out_1,&in_2,&lastBit,0);}else// 10,相减，然后右移{*out_1 = alu_sub_bcla_64(*out_1,in_1,sizeof(long)*8);alu_shift_right_1(out_1,&in_2,&lastBit,0);}}*out_2 = in_2;
}
