傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换、离散余弦变换的理解

1. 傅里叶级数

功能：能把任意周期性函数展开成一系列正弦、余弦函数的和。

公式：

$\begin{gathered} f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(\frac{2\pi nx}T)+b_n\sin(\frac{2\pi nx}T)\right) \\ \text{傅里叶系数} \\ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)\cdot\cos(\frac{2\pi nx}{T})dx,n\in\{0\}\bigcup\mathbb{N} \\ b_{n}={\frac{2}{T}}\int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)\cdot\sin({\frac{2\pi nx}{T}})dx,n\in\mathbb{N} \end{gathered}$

比如下图的一个函数能够被一系列周期为2 $\pi$ 的正弦函数展开：
在这里插入图片描述
加加减减后周期仍是2 $\pi$ ，调整正弦、余弦函数前面的系数（振幅）就可以慢慢逼近原函数了。

下面我们尝试把周期变成更一般的T，则正弦、余弦函数可写成：
$\begin{array}{l}sin(\frac{2\pi n}Tx)\\\\cos(\frac{2\pi n}Tx)\end{array}$

前面的系数（ $a_n, b_n$ ）我们可以通过几何的角度进行理解：

首先要有个先验知识就是正弦、余弦函数可以看成无限维的向量，并且两个向量的内积为0，即正弦余弦函数是正交的。
在这里插入图片描述
无限维向量内积：

因此傅里叶变换可看成是由一组正交基构成的：

每个正交向量就是：{1,0,0}，{0，cos(2pi n/T x)，0}，{0,0，sin(2pin/Tx)}

在这里插入图片描述
那么如何求系数呢就是这些坐标：
例如：其中c1，c2是坐标

扩展到傅里叶：

bn类似的。

2.傅里叶变换

在这里插入图片描述
随着函数周期变大，频域上的点会越来越密集，若一个非周期函数，则频域图中的点连续：

而傅里叶变换就是求出当周期无穷大时，对应的这个连续的频域图曲线。

首先把傅里叶级数用欧拉公式换一下：
在这里插入图片描述

F(w)就是频域曲线。
另外还可以再改造一下，把前面系数移进去：

$F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot e^{-j2\pi wx}dx$

同理可得二维傅里叶变换：
$v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\cdot e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$
二维傅里叶反变换：
$y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}F(u,v)\cdot e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$

二维离散傅里叶变换：
$\sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(x, y) \cdot e^{-j 2\pi(ux/M + uy/N)} \$

$\ f(x, y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u, v) \cdot e^{j 2\pi(ux/M + uy/N)} \$

小波变换

暂时放个链接在这小波变换

离散余弦变换
离散余弦变换其实就是傅里叶变换的实数部分
$\begin{aligned}F(u,v)&=\lambda(u)\lambda(v)\sum_{x=0}^{N_1-1}\sum_{y=0}^{N_2-1}f(x,y)\cos\left(\pi u\frac{2x+1}{2N_1}\right)\cos\left(\pi v\frac{2y+1}{2N_2}\right)\\\\\lambda(\omega)&=\begin{cases}\sqrt{\frac1N},&\mathrm{if~}\omega=0\\\sqrt{\frac2N},&\mathrm{otherwise}&\end{cases}\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(x,y) & =\sum_{u=0}^{N_1-1}\sum_{v=0}^{N_2-1}\lambda(u)\lambda(v)F(u,v)\cos\left(\pi u\frac{2x+1}{2N1}\right)\cos\left(\pi v\frac{2y+1}{2N2}\right)\end{aligned}$