本文重点参考了这篇博客：https://nb.bohrium.dp.tech/detail/1342

看论文时经常会遇到 SE3, SO3, O3 等字样，云里雾里，难以理解。本文对这些术语进行集中解释。

数学术语

在数学里，一个物体可以抽象成 3 维几何坐标。
对该物体进行旋转、平移操作，相当于，坐标矩阵乘以旋转矩阵。如下所示：

不同的操作对应不同的相乘矩阵，具体来说：

• 如果相乘矩阵是正交矩阵 O(3) ，则乘以该矩阵相当于对坐标进行一次旋转+一次镜像。（O=orthotic）
• 注意到，正交矩阵的行列式有±1之分。上述旋转对应的是正常的正交矩阵，其行列式为-1。如果正交矩阵的行列式为+1，则该矩阵被称为瑕正交矩阵，仅对坐标进行一次旋转。我们称这样的正交矩阵为 SO(3) 。（S=special）
• 在 O(3) 和 SO(3) 基础上，如果再对坐标进行平移，O 就变成了 E（E=Euclidean），该矩阵会变成 E(3) 或者 SE(3)

常见术语：

• O(3): 满足旋转、镜像等变性
• SO(3): 仅满足旋转等变性
• E(3): 满足旋转、镜像、平移等变性 （O省略没写）
• SE(3): 满足旋转，平移等变性（O省略没写）

GNN 设计要求

我们在设计 GNN 时常常要满足各种奇奇怪怪的等变要求，具体有哪些呢？

平移不变性

用户输入神经网络的几何坐标，在经过平移后，会发生变化。我们希望经过平移的坐标不对预测结果造成影响，这就是平移不变性。
满足平移不变性可以将输入坐标转换成内坐标（距离，角度，二面角等），这也是大部分不变网络设计起点。
但现在很多等变网络，通过对消息传递层进行特殊处理，使其可以满足这一要求，这使我们不拘泥于简单的不变网络。

排列、置换不变性

用户在输入分子时，不仅会输入几何坐标，还会输入每个坐标对应的元素符号。我们希望交换同种元素对应两个原子的坐标，输出结果不变/等变。

输出结果不变指，水分子能量预测等任务，水分子能量不随交换改变。
输出结果等变指，水分子中各原子受力随交换改变输出顺序。

满足排列、置换不变性要求我们的网络不能依赖于输入顺序。这条比较简单，大部分网络都满足。

镜面等变性

这个属于较为挑剔的对称性要求，对于手性分子体系可能更加重要，满足这类要求的网络通常会注明是 O(3) 或者 E(3)，而不是 SO(3), SE(3)

旋转等变性

这种情况一般出现在预测目标涉及原子受力的场景中。每个原子都有一个向量式的预测目标，这些目标会随着输入坐标的旋转而旋转，如上图所示。
这条性质是最苛刻的，满足这条性质的网络能对原子受力拟合准确度将高很多。
那么，等变性对标量性质的预测是否有帮助？

• 理论上，标量性质的预测满足不变性即可，即，上图中的第一条。
• 但是先进等变网络的设计会增加模型的表达能力，间接提高标量性质的预测能力。
• 例如，PAINN的模型设计使得模型可以鉴别出顺式、反式的分子，而这一点并不是等变性设计的本意。
• 类似的例子在LeftNet，SMP中均有提及。模型设计使其拥有更强的鉴别能力，并不代表模型具有等变性，但二者可以是同一件事情。