序言
最近在学习python语言,语言有通用性,此文记录复习动态规划并练习python语言。
动态规划(Dynamic Programming)
动态规划是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初,美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人在研究多阶段决策过程的优化问题时,提出了著名的最优化原理,从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛,包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域,并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。
基本思想:将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。
斐波那契数列(Fibonacci sequence)
斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称“兔子数列”,其数值为:1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上,这一数列以如下递推的方法定义:F(0)=1,F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 2,n ∈ N*)。
先以斐波那契数列为例,了解动态规划。
def fibonacci(num):if num == 0:return 1if num == 1:return 1return fibonacci(num - 1) + fibonacci(num - 2)if __name__ == "__main__":print(fibonacci(10))
上述是以递归的方式实现的,然而递归方式存在以下几个缺点:
- 1)递归调用,占用空间大;
- 2)递归太深,容易发生栈溢出;
- 3)可能存在大量重复计算;
结果 | (n-1)项 | (n-2)项 |
---|---|---|
f(n) | f(n-1) | f(n-2) |
… | … | … |
f(5) | f(4) | f(3) |
f(4) | f(3) | f(2) |
f(3) | f(2) | f(1) |
f(2) | f(1) | f(0) |
以上述表格为例,可以看到在求下一个递归结果时,计算了之前已经计算出来的结果,存在重复计算项。
如果采用动态规划的方式,那么可以节省计算,采用数组暂存之前已经计算出来的结果。如下,
def fibonacci_dp(num):# 定义一个数组暂存dp结果,数组初始值为-1dp = [-1] * (num + 1)dp[0] = 1dp[1] = 1for i in range(2, num + 1):dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]return dp[num]if __name__ == "__main__":print(fibonacci_dp(10))
不同路径
上面的斐波那契数列是一维数组,较为简单,下面以二维数组为例。
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。
问总共有多少条不同的路径?
示例1: 输入:m = 3, n = 7 输出:28
示例2: 输入:m = 3, n = 2 输出:3
解释: 从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
1.向右 -> 向下 -> 向下
2.向下 -> 向下 -> 向右
3.向下 -> 向右 -> 向下
示例3:
输入:m = 7, n = 3 输出:28
示例4:
输入:m = 3, n = 3 输出:6
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9
python代码
class UniquePaths(object):def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:""":type m: int:type n: int:rtype: int"""# 初始化一个二维数组dp = [[0] * n for _ in range(m)]for i in range(m):dp[i][0] = 1for j in range(n):dp[0][j] = 1for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]return dp[m - 1][n - 1]if __name__ == "__main__":demo = UniquePaths()print(demo.uniquePaths(7, 3))
最小路径和
题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
说明:一个机器人每次只能向下或者向右移动一步。
示例1:
输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出:7
解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例2:
输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出:12
提示:
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 100
python代码
class MinPathSum(object):def minPathSum(self, grid):""":type grid: List[List[int]]:rtype: int"""row = len(grid)column = len(grid[0])# 定义dp[i][j]为到(i,j)处的最小路径和dp = [[0] * column for _ in range(row)]dp[0][0] = grid[0][0]# 第0行j列for j in range(1, column):dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]# 第i行0列for i in range(1, row):dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]# 非第0行或第0列for i in range(1, row):for j in range(1, column):dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]return dp[row - 1][column - 1]if __name__ == "__main__":demo = MinPathSum()grid = [[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]print(demo.minPathSum(grid))
零钱兑换
题目描述
给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1:
输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3
解释:11 = 5 + 5 + 1
示例 2:
输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1
示例 3:
输入:coins = [1], amount = 0
输出:0
提示:
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104
python代码
class CoinChange(object):def coinChange(self, coins: list[int], amount: int) -> int:""":type coins: List[int]:type amount: int:rtype: int"""# 状态转移方程dp(i) = min(dp(i-Cj)) + 1,Cj为货币面值"""i<0 忽略i==0 dp[0] = 0i==1 dp[1] = min(dp[1-1], dp[1-2], dp[1-5]) + 1 = 1i==2 dp[2] = min(dp[2-1], dp[2-2], dp[2-5]) + 1 = 1i==3 dp[3] = min(dp[3-1], dp[3-2], dp[3-5]) + 1 = 2i==4 dp[4] = min(dp[4-1], dp[4-2], dp[4-5]) + 1 = 2... ..."""dp = [0] * (amount + 1)dp[0] = 0for i in range(1, amount + 1):mini = int(1e9)for coin in coins:if i >= coin:res = dp[i - coin]if 0 <= res < mini:mini = resdp[i] = mini + 1 if mini < int(1e9) else -1if amount < 1:return 0return dp[amount]if __name__ == "__main__":demo = CoinChange()coins = [1, 2, 5]amount = 11print(demo.coinChange(coins, amount))