位运算trick

位运算本质上不是一种算法,而是一种trick,用来节约时间/空间的trick。背后常常有集合论、状态压缩等思想的支撑。这里探讨的位运算指的是其背后的指导思想而不是trick本身。因此对trick本身的证明就略过了。

位运算各种trick的详解请参照灵神的教学贴:leetcode.cn/circle/discuss/CaOJ45/

如果想获取位运算的知识图谱,以及集合论的一些基础知识。我在子集状压DP篇收录了相关图片(搬运别人的),可以在该博客找到。

一、集合论

常见的有枚举已知集合的子集、判断子集元素、集合交并补(对称)差等。

1.1. LC 78 子集

这里涉及最简单的枚举已知集合的子集。我们可以为集合中的每个元素编号,假设集合的势为n,则编号为0~(n-1),那么子集就可以写作一个0-1串,选取则为1,不选则为0。采用小端法。

例如,共计4个元素,选取第0个和第2个,就是0101。我们把这个0-1串看成二进制,则它在十进制下就是5。而这种映射显然是一一对应的,双射。因此5就代表了子集{0,2},用一个4字节整型就压缩了一个子集。

现在既然要枚举子集,那么就要确定子集的范围,很明显是全零到全一,也就是[ 0 , 2^n-1 ]。对于每个数我们判断子集元素即可。

那么如何判断子集元素?每次位于1,若为1则说明末位为1,应选取,然后整个数右移更新末位,循环直至整个0-1串被遍历即可。(或者可以把1移位,这个看个人喜好)

另外这一题是一道比较经典的题,他还能训练深搜回溯的基础算法。这里强调位运算集合论,就不放了。

复杂度O(n*2^n):共O(2^n)个子集,每个移位判断O(n)次。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;class Solution {public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {// 位运算写法枚举子集int n = nums.length;List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();// [ 0 , 1 << n - 1 ] 不选对应0int j = 1 << n;for (int i = 0; i < j; i++) {ArrayList<Integer> sub = new ArrayList<>();int tmp = i;int index = 0;while(tmp>0){if((tmp&1)==1){sub.add(nums[index]);}index++;tmp >>= 1;}ans.add(sub);}return ans;}
}

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