第三部分 连续型需要的积分

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温馨提示:

求积分

求分段函数在确定区间的定积分

方法:

例1

例2 

例3 

例4 

例5

例6

 例7

求分段函数在到未知数的定积分

方法:

例8

求简单的二重积分 

方法:

例9

例10

例11

求f(x,y)的二重积分 

方法:

例12

例13

例14


温馨提示:

因为接下来的学习要用到积分,所以在这里补充一节,如果高等数学学的不错可以跳过本节

求积分
求分段函数在确定区间的定积分
方法:

①画出待求积分的上下限区域
②根据f不同的取值范围,将区域分成几段

③令待求积分=第一段区域积分+第二段区域积分+...

例1

已知,试求\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx


根据取值范围来看分成两个部分,所以积分需要分两个部分求

[0,1)区间为1,其他区间为0
\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx=\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1}^{2}f_{x}(x)dx

                        =\int_{0}^{1}1dx+\int_{1}^{2}0dx

                        =x|_{x=0}^{x=1}+0

                        =(1-0)+0

                        =1

例2 

已知,试求\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx

\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx=\int_{-\infty }^{0}xf_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}xf_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}xf_{x}(x)dx

                          =\int_{-\infty }^{0}x0dx+\int_{0}^{1}x1dx+\int_{1 }^{+\infty}x0dx

                          =0+(\frac{1}{2}x^2)|_{x=0}^{x=1}+0

                          =0+(\frac{1}{2}\times 1^{2}-\frac{1}{2}\times 0^{2})+0

                          =\frac{1}{2}

例3 

已知,试求\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx



\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx=\int_{-\infty }^{0}x^{2}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}x^{2}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}x^{2}f_{x}(x)dx

                            =\int_{-\infty }^{0}x^{2}0dx+\int_{0}^{1}x^{2}1dx+\int_{1 }^{+\infty}x^{2}0dx

                            =0+(\frac{1}{3}x^3)|_{x=0}^{x=1}+0

                            =0+(\frac{1}{3}\times 1^{3}-\frac{1}{3}\times 0^{3})+0

                            =\frac{1}{3}

例4 

已知,试求\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx


\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}f_{x}(x)dx

                        =\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0}^{1}adx+\int_{1 }^{+\infty}0dx

                        =0+(ax)|_{x=0}^{x=1}+0

                        =0+(a\times 1-a\times 0)+0

                        =a

例5

已知,2y<0,试求\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx


\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx=\int_{-\infty }^{2y }0dx=0

例6

已知,0≤2y<1,试求\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx


\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0 }^{2y}f_{x}(x)dx

                       =\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0 }^{2y}1dx

                       =0+x|_{x=0}^{x=2y}

                       =0+(2y-0)

                       =2y

 例7

已知,2y≥1,试求\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx


\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{2y}f_{x}(x)dx

                        =\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0}^{1}1dx+\int_{1 }^{2y}0dx

                        =0+x|_{x=0}^{x=1}+0

                        =0+(1-0)+0

                        =1

求分段函数在-\infty到未知数的定积分
方法:

①画出f式子不同式子的范围
②设积分上限∈第一个范围,求积分

    设积分上限∈第二个范围,求积分

    设积分上限∈第三个范围,求积分

    ......

③将各种情况结果汇总在一个大括号里

例8

 已知,试求\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx




设2y<0,得0                根据例5

设0≤2y<1,得2y          根据例6

设2y≥1,得1                根据例7

求简单的二重积分 
方法:

①找出区域边缘的转折点
②过转折点作竖线,将区域切割成区域1、区域2

    积分=区域1的积分+区域2的积分+...

③利用下面公式求出每个积分

例9

\int \int 1dxdy


积分=区域1+区域2

区域1积分=\int_{0.5}^{1}(\int_{0.5}^{x}1dy)dx

                =\int_{0.5}^{1}(y|_{y=0.5}^{y=x})dx

                =\int_{0.5}^{1}(x-0.5)dx

                =(\frac{1}{2}x^{2}-0.5x)|_{x=0.5}^{x=1}

                =(\frac{1}{2}\times 1^{2}-0.5\times 1)-(\frac{1}{2}\times 0.5^{2}-0.5\times 0.5)

                =\frac{1}{8}

区域2积分=\int_{1}^{1.5}(\int_{0.5}^{2-x}1dy)dx

                =\int_{1}^{1.5}(y|_{y=0.5}^{y=2-x})dx

                =\int_{1}^{1.5}(2-x-0.5)dx

                =\int_{1}^{1.5}(1.5-x)dx

                =(1.5x-\frac{1}{2}x^{2})|_{x=1}^{x=1.5}

                =(1.5\times1.5- \frac{1}{2}\times 1.5^{2})-(1.5\times 1-\frac{1}{2}\times 1^{2})

                =\frac{1}{8}

积分=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}

例10

\int \int xydxdy 

本题求三角形包裹区域


区域1积分=\int_{0}^{1}(\int_{0}^{x}xydy)dx

                \because\frac{\partial (\frac{1}{2}xy^{2})}{\partial y}=xy \therefore \int xydy=\frac{1}{2}xy^{2}

                =\int_{0}^{1}[\frac{1}{2}xy^{2}|_{y=0}^{y=x}]dx

                =\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}xx^{2}-\frac{1}{2}x0^{2})dx

                =\int_{0}^{1}x^{3}dx

                =(\frac{1}{8}x^{4})|_{x=0}^{x=1}

                =\frac{1}{8}\times1^{4}-\frac{1}{8}\times0^{4}

                =\frac{1}{8}

区域2积分=\int_{1}^{2}(\int_{0}^{2-x}xydy)dx

                 =\int_{1}^{2}[(\frac{1}{2}xy^{2})|_{y=0}^{y=x-2}]dx

                =\int_{1}^{2}[\frac{1}{2}x(2-x)^{2}-\frac{1}{2}x0^{2}]dx

                =\int_{1}^{2}(\frac{1}{2}x^{3}-2x^{2}+2x)dx

                =(\frac{1}{8}x^{4}-\frac{2}{3}^{3}+x^{2})|_{x=1}^{x=2}

                =\frac{2}{3}-\frac{11}{24}

                =\frac{5}{24}

积分=\frac{1}{8}+\frac{5}{24}=\frac{1}{3}

例11

\int \int kxydxdy

本题求被包裹的右边区域


\because\frac{\partial (\frac{kxy^{2}}{2})}{\partial y}=kxy \therefore \int xydy=\frac{kxy^{2}}{2}

\int \int kxydxdy

=\int_{0}^{1}[\frac{kxy^{2}}{2}|_{y=x^{2}}^{y=1}]dx

=\int_{0}^{1}[\frac{kx1^{2}}{2}-\frac{kx(x^{2})^{2}}{2}]dx

=\int_{0}^{1}(\frac{k}{2}x-\frac{k}{2}x^{5})dx

=(\frac{k}{4}\times1^{2}-\frac{k}{12}\times1^{6})-(\frac{k}{4}\times0^{2}-\frac{k}{12}\times1^{6})

=\frac{k}{6}

求f(x,y)的二重积分 
方法:

①找出1.f(x,y)的非零式子的范围         1和2的重合区域

           2.待求积分的区域
②用重合区域替代积分区域,用f(x,y)的非零式子替换积分里的f(x,y)

例12

设区域G如下图所示,(X,Y)的概率密度为

,求\int \int f(x,y)dxdy,满足y>0.5的区域

非零区域为(x,y)∈G

求的区域为y>0.5区域

替换f(x,y)为1

变为\int \int 1dxdy=\frac{1}{4}                例9

例13

设区域G如下图所示,(X,Y)的概率密度为

\int \int xyf(x,y)dxdy,其中-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty,求以下区域


非零区域为(x,y)∈G
替换f(x,y)为1
\int \int xy1dxdy=\frac{1}{3}                例10

例14

\int \int (x,y)dxdy,-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty



\int \int kxydxdy=\frac{k}{6}                例11

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