数字PID是由编程语言实现的PID算法并烧录到控制芯片中，控制芯片与电机驱动连接，将PID控制算法的输出转换为PWM控制信号发送给电机驱动电路，电机驱动电路与直流电机相连并将PWM控制信号转换为具有相同占空比的PWM供电电压，通过对输入电机的PWM供电电压占空比的控制实现对电机转速的调节；通过传感器监测电机转速，反馈至控制芯片，实现闭环。

1、公式推导

        PID控制算法在连续时间序列下的公式如下：

        对连续时间信号进行等间隔采样，就得到离散化的数字信号。

        容易得到PID的离散化表达式，该表达式也成为位置式PID：

        增量式PID，即ux - ux-1，表达式为：

        所以，可以看出，位置式PID和增量式PID在本质上是同一种表达式。

2、PID控制的实际含义

        以电机控制为例，期望转速是1000rpm，与实际电机转速(400rpm)的差值为600rpm输入PID控制器，电机驱动产生PWM波调节电机转速。

2.1、使用比例环节进行控制

        只是用比例环节进行控制，e(t)为控制转速与电机实际转速的差值。

        这是用比例环节进行电机控制的转速曲线，随着系数Kp的增加，转速曲线的波动越来越陡峭，波峰也越来越高。从Kp调节控制器的转速曲线可以发现，这里有两个问题：

        1、存在转速波动。转速调节的初始阶段，电机转速有一段上下波动阶段（7秒前），这一段波动在实际应场景往往是不可以接受的；

        2、存在稳态误差。在比例环节的控制下，电机的稳态转速始终与目标转存在偏差。根据比例环节的公式，当偏差消失后比例环节的输出也为0，因此稳态转速永远无法与目标转速一致。

        实际中，随着Kp增加，前期转速波动增加、稳态误差降低，但始终无法消除。

2.2、增加微分环节

        针对问题1的转速波动，可以通过增加微分环节来解决。

        通过，下面的转速曲线，来看积分环节如何解决转速波动问题的。e(t)大于e(t-1)表示当前转速正在远离目标转速，根据积微分环节的公式，此时微分环节会将转速往靠近目标值进行调整。可以看到微分环节相当于一个阻尼器，转速原理目标值时，它阻止远离；转速靠近目标值时，它阻止靠近。从而让被控对象更快的稳定在一个状态，不进行波动。

2.3、增加积分环节

        针对问题2的稳态误差问题，可以通过增加积分环节来解决。

        对于稳态误差，系统稳定后目标值和实际中始终存在一个偏差。如果此时，积分环节增加进来，它会对这部分偏差进行正向积分，在积分作用下，积分环节的输出变得越来越大，因此PID控制起的输出也变得越来越大，从而当前转速开始升高。当转速超过目标转速后，积分环节又会对这部分偏差进行负向积分，PID控制器的输出变小，从而转速开始下降。

        只要转速没有停在目标转速上，积分环节就会一直发挥调节作用，被控对象会因为这种调节作用，最终稳定在目标转速上。

3、总结

        PID控制器在只有比例环节时，存在转速波动和稳态误差。通过增加积分环节可以消除稳态误差，通过微分环节消除转速调节的波动问题。因此，在PID三个环节的共同努力下，就可以实现如下理想的转速调节曲线。