如何正确看待养老金账户抵税

一. 前言

​ 最近国家推出了养老金抵税政策，核心条款为：

• 你存一笔钱到你的个人养老金账户，例如1000元；每年存入金额最高为12000元
• 在税务结算时，这1000元会按照你的个人所得税税率返还给你；假如你的个人所得税税率为10%，那么会返回给你100元
• 你存在个人养老金账户的这笔钱基本上来说需要等到你退休的时候才能取，或者满足其他几个条件，例如丧失劳动能力等
• 你取这笔钱的时候需要缴纳3%的税
• 你存的这笔钱是可以购买理财产品的，基本上都是比较保守的理财产品（年化利率< 2.5%)

​ 好，基本情况大家已经了解，我在短视频上看到很多人解释这些规则，基本上都是认为非常划算，并且建议大家办理养老金账户、存钱来抵税。

​ 到底是否划算，我认为不能凭主观臆断，还是应该建立金融模型来具体计算一下，才能得出结论。我不做评价，在这里只是建立模型并且求解，是否值得留給读者去评判。

二. 问题建模

​ 首先，设无风险利率为 $r$，年化通货膨胀率为 $f$ ，养老金所购买的理财产品的年华利率为 $r_o$; 每年的投入金额为 $m$ ,时间跨度为 $Y$ ,个人所得税为 $t$ 。其次，假设采用养老金方案所退的税金进行了再投资。第三，为了便于表达，设资金投入和退税都发生在年初。

​ 我们比较，

1. 以无风险利率进行投资的现金价值，记为 $V_1$
2. 投资养老金账户所得到的现金价值，记为 $V_2$

**注意：**本文中所比较的现金价值指的是在投资期结束后的时间点的价值，而一般金融上计算现金价值都需要折算到当前。

三. 解题

计算 $V_1$

$$V_1=[\sum _{i=1}^{Y}m\times (1+r-f)\times i]$$

​ 上式代表每年投入资金 $m$ 以无风险利率与通货膨胀率的差为年化利息增长，按照这种方式累加 $Y$ 年，得到的是 $Y$ 年后年底的现金价值。

**注意：**实际上每年的投资由于其投资期限不同，其回报率应该不同，在大多数情况下时间越长其年回报率应该越高才对。但由于不容易找到恰当的利率曲线，且会使没有金融背景的读者难以理解，这里就忽略这一点了。以下的计算也有同样的情况。

计算 $V_2$

$$\begin{array}{rl}{V}_2& =[\sum _{i=1}^{Y}m\times (1+r_o-f)\times i+m\times t\times (1+r_o-f)\times i]\times (1-0.03)\\ & =[\sum _{i=1}^{Y}m\times (1+t)(1+r_o-f)\times i]\times (1-0.03)\end{array}$$

令$V_2-V_1$

$$\begin{array}{rl}{V}_2-V_1& =[\sum _{i=1}^{Y}m\times (r_o-r)\times i]+[\sum _{i=1}^{Y}m\times t(1+r_o-f)\times i]-0.03\times [\sum _{i=1}^{Y}m\times (1+t)(1+r_o-f)\times i]\\ & =\sum _{i=1}^{Y}m\times i\times [t(1+r_o-f)+r_o-r]-\sum _{t=1}^{Y}0.03\times m\times i\times [(1+t)(1+r_o-f)]\\ & =\sum _{i=1}^{Y}m\times i\times [t(1+r_o-f)+r_o-r-0.03(1+t)(1+r_o-f)]\end{array}$$

到这里可以看出，$V_2$是否大于$V_1$ 完全由上式中的中括号中的代数式决定，我们把它单独拿出来分析：
$$\begin{array}{rl}& t(1+r_o-f)+r_o-r-0.03(1+t)(1+r_o-f)\\ & =t+t{r}_o-tf+r_o-r-0.03(1+r_o-f+t+t{r}_o-tf)\\ & =t+t{r}_o-tf+r_o-r-0.03-0.03r_o+0.03f-0.03t-0.03t{r}_o+0.03tf\\ & =(1-0.03)t+(1-0.03)t{r}_o+(1-0.03)r_o-(1-0.03)tf-r-0.03f-0.03\\ & =(1-0.03)(t+t{r}_o+r_o-tf)-0.03(1+f)-r\\ & =(1-0.03)[t(1-f)+r_o(1+t)]-0.03(1+f)-r\end{array}$$
从上式中虽然不能直接得出结论，但是我们可以观察出：

• 个人所得税率 $t$ 越高，$V_2$ 越可能比 $V_1$ 大
• 无风险利率 $r$ 越高，$V_2$ 越可能比 $V_1$ 小
• 通货膨胀率越高，$V_2$ 越可能比 $V_1$ 小

假定 $r_o=0.024$ , $r=0.03,f=0.06$

现在我们结合实际场景，讲个人税率 10%，45%分别带入；

10%情况下

$$\begin{array}{rl}& =(1-0.03)[0.1(1-f)+0.024\times 1.1]-0.03(1+f)-0.03\\ & =(1-0.03)(0.1-0.1f+0.0264)-0.06-0.03f\\ & =(1-0.03)(0.1264-0.1f)-0.06-0.03f\\ & =(1-0.03)0.1264-0.1f+0.003f-0.03f-0.06\\ & =0.97\times 0.1264-0.127f-0.06\\ & =0.0626-0.127f\\ & =0.0626-0.127\times 0.06\\ & =0.0626-0.00762=0.05498\end{array}$$

45%情况下

$$\begin{array}{rl}& =(1-0.03)[0.45(1-f)+0.024\times 1.45]-0.03(1+f)-0.03\\ & =(1-0.03)(0.45-0.45f+0.0348)-0.06-0.03f\\ & =(1-0.03)(0.4848-0.45f)-0.06-0.03f\\ & =(1-0.03)0.4848-0.45f+0.0135f-0.03f-0.06\\ & =0.97\times 0.4848-0.4665f-0.06\\ & =0.41-0.4665f\\ & =0.41-0.4665\times 0.06\\ & =0.41-0.02799=0.38201\end{array}$$

结论

• 当个人所得税税率在10%和45%，投资养老金账号相对于投资无风险利率分别会使您的投资资产增值5.5%和38%。
• 上结论成立的条件是建立在文中计算过程中所设定的关于无风险利率、通货膨胀率，退税金额再投资、利率与投资时间无关等假设的基础之上的。
• 上面所说的假设很可能不符合真实情况，例如退税所得金额再投资，这一点实际操作起来不太容易。
• 实际上，银行三年定期存款利率是大于3%的，应该可达到3.8%，所以使得投资养老金的回报实际上相对变少。
• 通货膨胀率大于无风险利率的情况下，您的真实收益都是小于0的。

提示年轻人，最好的投资是投资自己！