Two-stage Hierarchical Attention Sampling

一阶段缩放是hw，提取的特征是h1w1，
二阶段缩放是uv（在hw的基础上），提取的是h2*w2

One-stage

在第一阶段，注意力网络a Θ(·)为输入图像生成一个注意图(按s 1的比例缩小)，其中N个块被替换采样() 在第二阶段，注意力网络bΘ(·)为每个选择的块生成一个注意图，并选择一个子块，因此选择了N个子块(不替换)。然后将所有子块馈送到特征提取器fΘ(·)，使用其相应的注意力权重对特征映射进行聚合，并使用分类模块g Θ(·)从聚合的特征中获得预测

定义Ts1(x,c)函数从输入图像x∈R（H×W）中提取一个大小为h1×w1的块，并将其放置在低分辨率视图V(x,s1)∈R（h×w）中的位置c={i,j}处。
即：Ts1(x,c)将坐标通过[⌊(i−1)(W−1)/(w−1)⌋,⌊(j−1)(H−1)/(h−1)⌋]映射到x hw中的一个位置, 并返回一个大小为h1×w1的块。
s1是缩放因子，s1∈(0,1)，h = s1H，w = s1W。

好，第一个问题：为什么通过[⌊(i−1)(W−1)/(w−1)⌋,⌊(j−1)(H−1)/(h−1)⌋]进行特征映射呢？

在这个过程中，Ts1(x,c) 的作用是对全分辨率H×W输入x中的一块区域 h1×w1 做特征提取，这里的c={i,j} 表示这块区域相对于全分辨率图像 x 的坐标。所以 [i-1，j-1]分别表示了相对应的行号和列号。

接下来，Ts1(x,c) 将把 x HW 上的像素转换为其相应的小尺度版本 x hw，这一步骤是为了降低计算成本。因为随着尺度变小，所需的内存和时间也会大大减小。

至于为什么要乘以(W-1)/(w-1) 和 (H-1)/(h-1)，这是因为在图像缩放的过程中，保持纵横比不变是很重要的。也就是说，尽管图像的高度和宽度都发生了改变，但我们希望确保图像的比例仍然保持一致。这两个分数确保了在缩放到新尺度时，图像的长宽比例不会发生显著变化。

需要注意的是：（i）这种策略只依赖于x和s1的尺寸，而不取决于tile的大小; （ii）要求h1,w1>1/s1以保证对x进行全面覆盖; (iii)我们已经忽略了颜色通道维度，但在我们的实验中考虑了彩色图像（具有额外的一个维数）。
最后，提供注意力机制如下：


所以（2）就是添加了注意力机制后的分类器

接着作者提出了使用蒙特卡洛估计来避免计算由视角V(x,s1)暗示的所有|C|个可能的tiles的特性，这是因为如果原始输入x很大，则内存需求过高。为了利用Monte Carlo估算，在原输入图像上采样了一小部分tile，这些样本是由注意权重分布确定的独立同分布地进行选择的。因此，他们用一小部分来自大输入的tile代替所有可能的tiles来进行计算。这样做的好处是可以减少需要处理的数据量，从而提高效率。
可以通过从（1）到（3）采样近似估计（2）
C是V(x,s1)全部索引对的集合，C=h*w
Q是从aΘ(V(x,s1))中提取的N个索引对

Two-Stage

V(x,s2,c)∈R uv 是将第一阶段缩放后的x hw在缩放因子s2∈（0，1）下的位置c处的视图
所以：u = s2 h = s2 s1H， v = s2 w = s2 s1W
进一步，Ts2(Ts1(x, c)，c ')提取了一个子块h2×w2（从h1w1中）
具体来说，V(x,s₂,c)是一个在尺度s₂∈(0,1)下的图像x hw在位置c处的视图，其大小为u×v，其中u=s₂h=s₁s₂H（高度）和v=s₂w=s₁s₂W（宽度）。进一步定义了一个函数Tₛ₂(Tₛ₁(x,c),c’)，它从在尺度s₁下、位置c={i,j}的块Tₛ₁(x,c)中–>再在尺度s₂下的视图V(x,s₂)的位置c’={i’,j’}处提取一个大小为h₂×w₂的子块。
这个映射函数Tₛ₂(Tₛ₁(x,c),c’)与Tₛ₁(x,c)的定义类似，但返回的是尺寸为h₂×w₂而非h₁×w₁的子块 ，并且满足h₂ < h₁, w₂ < w₁以及h₂,w2 > 1/s₂的条件。
可以同（1）一样定义注意力机制

β是V（x，s1）在c处的注意力权重矩阵，Σc’∈C β‘c = 1 ，bΘ是注意力函数，|C’| = uv
C‘是V(x,s2,c）全部索引对的集合
由于V(x,s2,c)中的位置c’在全分辨率图像x中的对应位置为αcβc’（x–>αc—>βc‘），因此我们可以重写（2）：

现在聚合表征是x中所有大小为h 2 ×w 2 子块的加权平均值，同（3）一样我们可以近似估计（5）：

利用Gumbel-Top-K trick来获得无偏差的平均预期值的估计，我们可以重写（5）：
这个估计器是由两层嵌套的求和组成，外层是对所有可能的选择c’进行遍历，内层则是针对每一个c’执行相应的操作。
具体而言，外层的求和作用在于考虑所有可能的c’，并将它们对应的注意力权重乘以fΘ(TS2(TS1(x,c),c’)) 并累加起来。这样做的目的是为了构建一个总体上的估计器，考虑到所有可能的c’的影响。

至于内层的求和，它是针对那些不是当前正在评估的c’'的所有c来进行的。也就是说，只有当c≠ c’时才会发生内部求和的操作。同时，**每一项都包含了注意力权重βcc’除以(1-βc‘)的部分，再加上剩余未使用的注意力权重 (1-βc’)。**最后，这两者的积就是对应于c的实际贡献到总估计器中的数值。

总的来说，这个公式展示了一种有效的方式来估计期望值，即使面对非独立同分布(non-iid) 数据的情况下也能保持良好的效果。
右边的和是左边期望的无偏差估计。或者，我们可以写为：
非iid（非独立同分布）意味着它的各个部分之间存在某种依赖关系或者是异方差性(即各部分的误差方差并不相等)。这样的特性可能会导致传统的学习算法无法很好地适应这类数据，Gumbel-Top-K trick在这里的作用是为了克服nond-iid数据带来的挑战，使我们能够高效地估算目标函数的期望值。

然后，式9在8的基础上进行了变换，我们可以像在(6)中那样近似(5)，但使用采样而不替换：

当i不属于 {c’1, …, c’j-1}，时，c’j正比于βci采样，否则不采样，避免了重复采样

内存需求

具体而言，对于N个样本的推理，单阶段[20]和提出的两阶段分层模型，其峰值内存使用量分别为O(s2HW + Nh2w2)和O(s1 2 HW + N’ s1 2 s2 2 HW + Nh2w2)。N’ 来代表Q和s中唯一块的数量。事实上，通过选择s1 <s和s2=s，我们可以证明我们的模型比单阶段注意力采样需要更少的GPU内存。注意，在第一阶段，选择块的数量会随着注意力映射的优化而急剧减少，峰值内存这个术语用来表示最坏的情况。

Efficient Contrastive Learning with Attention Sampling

这种技术的主要目的是让分类器能够更好地识别出属于类别 y=1 的图像作为对比示例
具体来说，我们利用(1)和(4)中现有的注意力函数。为了生成图像x的对比特征向量，使y =1，类似（1）——我们首先通过1 - aΘ(V(x, s1))采样(替换)块位置，然后类似（4），我们通过1 -bΘ(V(x, s2,c))采样N个子块（无需替换）

采样的对比子块通过特征网络，然后由分类器处理，使用(9)进行预测ΨΘ(x|y =1)，其中使用条件y =1来强调我们使用y =1类的图像x作为对比示例。一般来说，对比样例的数量(每个训练批次)等于y =1的样本数量。对于这些对比样本，我们优化了以下目标，Lcon(ΨΘ(x|y =1)) = Σn -log(1 - ΨΘ(xn | yn = 1))。请注意，Lcon(ΨΘ(x|y =1))鼓励对比示例对于标记为 y=1 的图像 x 能够正确预测为 y=0 类别。
**why？**这是因为作者想要提高模型区分正样本的能力，从而提升其性能。如果只关注正样本而不考虑负样本，则可能会导致过拟合问题，因为模型过于专注于记住正确的答案而忽视了错误的答案。通过把正样本预测成负样本，可以让模型更加全面地理解图像内容，避免过度适应某些特定模式而导致泛化能力下降的问题。这样可以使模型学会更好的判别边界，增强其鲁棒性和准确性。

在多类情况下，可以通过让其中一个类别成为参考点，或是采用完整的交叉熵为基础的对比损失方式扩展这一方法，此时对比示例会被分别生成两个类别（如 y={0,1})，而不是仅有一个类别（如半交叉熵损失）。