推导前提:

• 基函数:$f(x)=-f(-x)$
• 偶函数:$f(x)=f(-x)$

1.$奇函数\ast 奇函数=偶函数$

$f_1(x)\ast f_2(x)$
$=-f_1(x)\ast -f_2(x)$
$=f_1(-x)\ast f_2(-x)$
$\therefore 可将f_1(x)\ast f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x)$
$\because g(x)=g(-x)$

2.$偶函数\ast 偶函数=偶函数$

$f_1(x)\ast f_2(x)$
$=f_1(-x)\ast f_2(-x)$
$\therefore 可将f_1(x)\ast f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x)$
$\because g(x)=g(-x)$

3.$奇函数\ast 偶函数=奇函数$

$f_1(x)\ast f_2(x)，令f_1(x)为奇,f_2(x)为偶$
$f_1(x)\ast f_2(x)$
$=-f_1(-x)\ast f_2(-x)$
$\therefore 可将f_1(x)\ast f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x)$
$\because g(x)=-g(-x)$

4.$奇函数复合奇函数=奇函数$

$f_1(f_2(x))$
$=f_1(-f_2(-x))$
$=-f_1(f_2(-x))$
$\therefore 可将f_1(x)\ast f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x)$
$\because g(x)=-g(-x)$

5.$偶函数复合偶函数=偶函数$

$f_1(f_2(x))$
$=f_1(f_2(-x))$
$\therefore 可将f_1(x)\ast f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x)$
$\because g(x)=g(-x)$

6.$偶函数复合奇函数=偶函数$

$f_1(f_2(x))，令f_1(x)为奇,f_2(x)为偶$
$=f_1(f_2(-x))$
$=f_1(-f_2(-x))$
$=f_1(f_2(-x))$
$\therefore 可将f_1(x)\ast f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x)$
$\because g(x)=g(-x)$

7.$奇函数复合偶函数=???$

$f_1(f_2(x))，令f_1(x)为奇,f_2(x)为偶$
$=f_1(f_2(x))$
$=f_1(f_2(-x)$
$=-f_1(-f_2(-x))$