一、说明
图片由作者使用 DALL-E 3 提供。
Chuck-a-Luck 是一种赌博游戏,经常在嘉年华会和赌场玩。玩家可以投注数字 1、2、3、4、5、6 中的任何一个。掷三个骰子。如果玩家的号码出现在骰子的一、二、三上,他将分别获得他原始赌注的一倍、两倍或三倍加上他自己的钱;否则,他将失去股份。
问题:玩家每单位赌注的预期损失是多少?
(实际上,玩家可以在几个数字上分配赌注,但每个这样的赌注都可以被视为一个单独的赌注。
二、问题分析:
合乎逻辑的方法是在六个数字中的每一个上放置一个单位赌注,导致玩家总共下注 6 个单位。有三种不同的可能情况:(1)三个骰子上的所有数字都不同,(2)骰子上的两个数字完全相同,(3)三个骰子上的所有数字都相同。让我们分别考虑每种情况。
情况(1):三个骰子上的所有数字都不同。
在这种情况下,您从三个中奖号码中赢了三个单位,但从三个输号码中损失了三个单位。因此,损失为 0 (3–3)。有多少种不同的方法可以得到三个不同的数字?它是 6 x 5 x 4 = 120 种方式。掷三个骰子的总可能结果是 6 x 6 x 6 = 216。
因此,在所有数字都不同的情况下,预期损失为 0 * (120/216) = 0。
情况(2):骰子上的两个数字完全相同。
在这种情况下,您赢得了三个单位,因为您从相同的数字中获得两个单位,从单个不同的数字中获得一个单位。但是,您从四个 (6-2) 失败数字中的四个单位中输掉。因此,每单位赌注的损失为 1/6 (4/6–3/6)。有多少种不同的方法可以得到两个相同的数字?它是 6 x 5 x 3 = 90 种方式。
因此,在两个数字完全相同的情况下,预期损失为 1/6 * (90/216) = 15/216。
情况(3):三个骰子上的所有数字都相同。
在这种情况下,您赢得了三个单位,因为您从相同的数字中获得三个单位。但是,您从五个 (6-1) 个失败数字中的五个单位中输掉了。因此,每单位赌注的损失为 2/6 (5/6–3/6)。有多少种不同的方法可以得到两个相同的数字?它只是 6 种方式。
因此,在所有三个数字都相同的情况下,预期损失为 2/6 * (6/216) = 1/108。
要计算玩家每单位赌注的预期损失,只需将所有三种情况的预期损失相加即可。
结合所有三种情况,玩家每单位赌注的预期损失为 0 + 15/216 + 1/108 = 0.079。
三、替代解决方案:
另一种方法是假设玩家只在一个数字上放置一个单位赌注。有四种不同的可能情况:(1)玩家的号码没有出现在三个骰子中的任何一个上,(2)玩家的号码出现在一个骰子上,(3)玩家的号码出现在两个骰子上,(4)玩家的号码出现在所有三个骰子上。让我们分别考虑每种情况。
情况(1):玩家的号码没有出现在三个骰子中的任何一个上。
发生这种情况的概率是 (5/6)³ = 125/216。
情况(2):玩家的号码出现在一个骰子上。
发生这种情况的概率是 (1/6) * (5/6)² * 3C1 = 25/72。
情况(3):玩家的号码出现在两个骰子上。
发生这种情况的概率是 (1/6)² * (5/6) * 3C2 = 5/72。
情况(4):玩家的号码出现在所有三个骰子上。
发生这种情况的概率为 (1/6)³ * 3C3 = 1/216。
通过将概率乘以每种情况的损失,我们得到与之前相同的结果(如下图所示)。
每单位股份的预期损失。
Python 代码:
import numpy as npn_trials = 10000000
choice = np.random.randint(1,7, size = (n_trials,1))
rolls = np.random.randint(1,7, size = (n_trials, 3))
count = np.sum(choice==rolls, axis=1)
mean_loss = (np.sum(count==0) + (-1)*np.sum(count))/n_trials
print(f'Expected loss per unit stake: {mean_loss:.3f}')# Output:
# Expected loss per unit stake: 0.079
这就是这个运气🎲问题的全部内容。欢迎任何反馈或问题!该代码可在我的 Github 上找到。请继续关注本系列的下一部分!:)