一、隐马尔科夫链的第一个基本问题

    估计问题：给定一个观察序列$O=O_1O_2\dots O_T$和模型$u = (\boldsymbol{A,B,\pi})$,如何快速地计算出给定模型$u$情况下，观察序列$O$的概率， 即$P(O|u)$?

二、求解观察序列的概率

    其实，求解这个问题就是一个解码问题。 对于任意的状态序列$Q=q_1q_2\dots q_T$,有

$$P(O|Q,u)= \prod_{t=1}^{T-1} P(O_t|q_t,q_t+1,u) \\ =b_{q1}(O_1)b_{q2}(O_2)\dots b_{qT}(O_T)$$
并且
$$P(Q|u) = \pi _{q_1}a_{q_1q_2}a_{q_2q_3} \dots a_{q_{T-1}q_T}$$
由于
$$P(O,Q|u) = P(O|Q,u)P(Q|u)$$
所以
$$P(O|u) = \sum _{Q} P(O,Q|u) \\ \sum _{Q}P(O|Q,u)P(Q|u) \\ =\sum _{Q}\pi _{q_1}b_{q1}(O_1)\prod_{t=1}^{T-1}a_{q_{t}q_{t+1}}b_{q_{t+1}}(O_{t+1})$$
上述推导过程很直接，但是实际的计算量是非常庞大的，它要穷尽所有可能的状态序列，如果模型中有 $N$个状态，时间长度为$T$， 那么有 $N^T$个可能的状态序列，这导致了并不能有效地执行这个算法。因此，人们提出了前向算法，利用动态规划来解决指数爆炸的问题。

三、HMM中的前向算法

    为了实现前向算法，需要定义一个前向变量$\alpha_t(i)$.
定义1 前向变量$\alpha_t(i)$是在时间$t$， HMM输出序列$O=O_1O_2\dots O_t$并且位于状态$s_i$的概率：

$$\alpha_t(i) = P(O_1O_2\dots O_t, q_t=s_i|u)$$

    前向算法的主要思想是，如果可以快速地计算前向变量$\alpha_t(i)$，那么就可以根据$\alpha_t(i)$计算出$P(O|u)$, 因为$P(O|u)$是在所有状态下观察到序列$O=O_1O_2\dots O_t$的概率：

$$P(O|u) = \sum _{s_i}P(O_1O_2\dots O_T, q_T=s_i|u)= \sum _{i=1}^{N}\alpha_T(i)$$
    在前向算法中，采用动态规划的方法计算前向变量 $\alpha_t(i)$，其思想基于如下观察：在时间t+1的前向变量可以根据时间t时的前向变量 $\alpha_t(1)，\alpha_t(2)，\dots, \alpha_t(N)$来归纳计算：
$$\alpha_{t+1}(j) = (\sum_{i=1}^{N}\alpha_t(i)a_{ij})b_j({O_{t+1}})$$

前向算法

1 初始化： $\alpha_1(i)=\pi_ib_i(O_1), 1 \le i \le N$
2 归纳计算： $\alpha_{t+1}(j) = (\sum_{i=1}^{N}\alpha_t(i)a_{ij})b_j({O_{t+1}}) , 1 \le t \le T-1$
3 求和终结： $P(O|u) = \sum _{i=1}^{N}\alpha_T(i)$

前向算法的时间复杂度为$O(N^2T)$

四、HMM中的后向算法

    快速计算$P(O|u)$还有一种后向算法。
对应于前向变量，定义一个后向变量$\beta_t(i)$.
定义2 后向变量$\beta_t(i)$是在给定模型$u = (\boldsymbol{A,B,\pi})$并且在时间$t$状态为$s_i$的条件下，HMM的输出观察序列$O=O_{t+1}O_{t+2}\dots O_T$的概率：

$$\beta_t(i) = P(O_{t+1}O_{t+2}\dots O_T| q_t=s_i|u)$$
    类似于前向算法，也可以用动态规划算法计算后向变量。
1. 从时间 $t$到时间$t+1$, HMM的状态 $s_i$到状态 $s_j$输出 $O_{t+1}$,概率为 $a_{ij}b_j(O_{t+1})$
2. 在时间 $t+1$的状态为 $s_j$的条件下，HMM输出观察序列 $O_{t+2}\dots O_T$,概率为： $\beta_{t+1}(j)$
则，归纳关系为：
$$\beta_t(i)=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$$
后向算法

1 初始化：$\beta_T(i)=1, 1 \le i \le N$
2 归纳计算：$\beta_t(i)=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j), T-1 \ge t \ge 1; 1 \le i \le N$
3 求和终结：$P(O|u) = \sum _{i=1}^{N}\pi_ib_i(O_1)\beta_1(i)$

后向算法的时间复杂度为$O(N^2T)$