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摘要： 当我们利用等价无穷小量时，不仅仅可以利用等价替换，有的时候我们需要利用极限的定义语言来解决问题，当等价无穷小量和连加数列结合在一起时，虽然很多同学都能猜到最后的答案，但是过程往往都是有瑕疵的，没有相应的理论依据，这篇文章对此了进行详细的说明，希望能够对大家有所帮助。

利用定积分定义解决数列极限回顾

函数在区间上可积，此时可得

注意：
大家注意哦，当利用定积分解决数列极限时， 首先要写成定积分的形式，找到相应的被积函数，积分的上下限，以及相邻小区间之间的距离。

无穷小量等价和定积分结合解决数列极限总结

【例1】.(2005浙江大学)
设在上可积，且

计算

分析：
此题仔细观察会发现，是没有办法利用定积分定义去解决的，有的同学会说要是没有对数函数ln该多好啊，是啊，要是没有ln,这个题解决那可是分分钟的事情，也就变成了

但问题是明明对数函数ln确实存在呀，可是有的同学会说，可以利用等价无穷小量啊，即

此时可得

此时有些同学会提出说，下面就变为了

注意哦，这样去思考是有问题的，因为等价无穷小量替换的是所求极限的因式部分，而在此题中是不满足的，不过此题要想解决，确实需要利用等价无穷小量，下面我们把步骤简单梳理一下。证明：
由于

则可得

当时有

即

即

又在上可积，则存在，使得

又

则对上述给定的，存在，当时，有

此时可得

此时进一步可得

将

进行连加可得

综上可得

此时得到

又

则可得

即得

总结：
大家注意哦，我们证明

利用的是等价无穷小量的极限定义语言，此时比简答的等无穷小替换更有说服力！证明思想和岩宝数学考研公众号数学分析 第五章 导数和微分--利用导数存在解决一类数列极限问题总结里面的证明方法相似，大家可以一块结合起来进行证明。

【例1】.(2012西安电子科技大学)

分析：
方法一：利用例1的思想可以解决，此时最后可以得到

方法二：进行两头放缩，然后夹逼准则也是可以的，即

进一步转化可得

可得

连加可得

又

由数列极限的迫敛性可得

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