（DAG+固定终点的最长路和最短路）硬币问题

##题目：
有n种硬币，面值分别为v1, v2, …, vn，每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。

Input
第一行两个整数，n，S（1≤n≤100， 0≤S≤100000）。
第二行n个整数vi-1…n(1≤vi≤S)。

Output
第一行两个整数，分别表示硬币数目的最小值 a 和最大值 b 。无解则输出 -1 。
第二行 a 个整数分别表示使用的是第几种硬币。
第三行 b 个整数分别表示使用的是第几种硬币。

Sample Input
6 12
1 2 3 4 5 6

Sample Output
2 12
6 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

##分析与解

假如s是12，怎么弄个金钱加加减减就到十二呢
假设每个结点表示剩的钱数
怎么和DAG想到一块，可以这么想，现在已知一个路的起点s和终点0，每多加一个钱，s就变到另一个数s2，现在找s2和终点0的路，这样就成了一个DAG

##思考
我们用递推，想找剩下s元到剩下零元的最小使用钱的次数
现在找最短路径的话
递推公式：dmin[i]=min(dmin[i],dmin[i-v[j]]+1)
我们初始化dmin[0]=0剩下零元到零元不需要钱，次数为零
dmin[i]的话就是看dmin[i]到零元的最小使用钱次数，他需要和dmin[i-v[j]]+1比较，其中+1是说dmin[i-v[j]]加上v[j],使用了dmin[i-v[j]]加上一次使用v[j]的次数
我们可以发现dmin[s]可以由dmin[0]向上推出

那不妨把递推公式转换成迭代

如果剩下的钱i减去v[j]大于零，说明可以通过dmin[i-v[j]]+1来确定dmin[i]
那么假设我们的dmin[i]就等于dmin[i-v[j]]+1，并且dmin[0]等于0，所以这样一步一步推出dmin[s]

由于题目说字典序，我们再写最大最小值时候也是遇见大于max的就存标号，更改max，后面来个等于max的，我们不能再存标号，因为我们要的是第一个数，所以后面来的必须要大于max，我们才改标号

这个也是一样的道理，必须有新的dmin[i-v[j]]+1比之前的dmin[i-v[j2]]+1小的时候我们替换掉dmin[i]的值。
由于要考虑输出，输出的都是v[j],那我们就要记录每一个i他减的v[j]是什么，就是当dmin[i]>dmin[i-v[j]]+1时，我们不仅替换dmin[i]=dmin[i-v[j]]+1,还要替换path_min[i]=j,path_min[i-v[j]]=j2,如果i-v[j]=0,此时说明v[j]+v[j2]=s

这里写图片描述

我这输出没排序，如果要排序的话，存到数组里，然后输出

int V[maxN];i是第几种，v[i]是第i种的价值
int Dmin[maxS];dmin[i]是i到0所需的最小路径
int Dmax[maxS];
int path_min[maxS];path_min[i]是最小路径中由i走到下一个结点所减去的那个数v[j]的下标j
int path_max[maxS];

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int maxN=200;
const int maxS=200000;
const int inf=2000000000;
int n,S;
int V[maxN];
int Dmin[maxS];
int Dmax[maxS];
int path_min[maxS];
int path_max[maxS];void print_ans(int *d,int s){while(s){printf("%d ",d[s]);s-=V[d[s]];}
}int main()
{cin>>n>>S;for (int i=1;i<=n;i++){cin>>V[i];}for (int i=1;i<=S;i++){Dmin[i]=inf;Dmax[i]=-inf;}Dmin[0]=0;Dmax[0]=0;for (int i=1;i<=S;i++){for (int j=1;j<=n;j++)if (i>=V[j]){if (Dmin[i]>Dmin[i-V[j]]+1)//+1走的v【j】 {Dmin[i]=Dmin[i-V[j]]+1;path_min[i]=j;}if (Dmax[i]<Dmax[i-V[j]]+1){Dmax[i]=Dmax[i-V[j]]+1;path_max[i]=j;}}}cout<<Dmin[S]<<' '<<Dmax[S]<<endl;print_ans(path_min,S);printf("\n");print_ans(path_max,S);printf("\n");return 0;
}