介绍

Sinkhorn算法是一种用于解决最优传输问题的迭代算法。最优传输问题是指在给定两个概率分布 $\mu$ 和 $\nu$ 的情况下，找到一个最优的转移方案，使得从 $\mu$ 到 $\nu$ 的转移成本最小。Sinkhorn算法通过迭代的方式逐步优化转移方案，以达到最优传输的目标。

Sinkhorn算法的核心思想是通过交替地更新行和列的缩放因子，来逐步逼近最优转移方案。具体来说，算法的步骤如下：

初始化转移方案：
首先，我们需要初始化一个转移方案 $\mathbf{P}$ ，其中 $\mathbf{P}$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵，表示从 $\mu$ 到 $\nu$ 的转移概率。通常可以使用均匀分布来进行初始化，即 $\mathbf{P}=\frac{1}{nm}\mathbf{1}_{n\times m}$ ，其中 $\mathbf{1}_{n\times m}$ 是一个全1的矩阵。
更新行和列的缩放因子：
在每次迭代中，我们交替地更新行和列的缩放因子。首先，我们计算当前转移方案 $\mathbf{P}$ 的行求和向量 $\mathbf{a}$ 和列求和向量 $\mathbf{b}$ ，分别表示从 $\mu$ 到 $\nu$ 的转移概率和从 $\nu$ 到 $\mu$ 的转移概率。然后，我们通过将 $\mathbf{a}$ 归一化为一个单位向量，更新列的缩放因子 $\mathbf{b}$ ，得到 $\mathbf{b}=\frac{\nu}{\mathbf{K}^T\mathbf{a}}$ ，其中 $\mathbf{K}$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵，其中 $K_{ij}=c_{ij}$ 表示从位置 $i$ 到位置 $j$ 的转移成本。接下来，我们通过将 $\mathbf{b}$ 归一化为一个单位向量，更新行的缩放因子 $\mathbf{a}$ ，得到 $\mathbf{a}=\frac{\mu}{\mathbf{K}\mathbf{b}}$ 。
更新转移方案：
在每次迭代中，我们通过更新转移方案 $\mathbf{P}$ 来逼近最优转移方案。具体来说，我们通过 $\mathbf{P}=\text{diag}(\mathbf{a})\mathbf{K}\text{diag}(\mathbf{b})$ 来更新转移方案，其中 $\text{diag}(\mathbf{a})$ 和 $\text{diag}(\mathbf{b})$ 分别是行和列缩放因子的对角矩阵。
重复步骤2和步骤3：
重复执行步骤2和步骤3，直到收敛或达到预定的迭代次数。

通过交替地更新行和列的缩放因子，并更新转移方案，Sinkhorn算法能够逐步逼近最优传输方案。算法的迭代次数和收敛性可以根据具体的问题和需求进行调整。需要注意的是，Sinkhorn算法在处理大规模问题时可能会面临计算复杂度的挑战，但可以通过一些加速技巧（如近似方法）来提高算法的效率和可扩展性。

示例代码

下面是一个简单的Python代码实现Sinkhorn算法：

import numpy as npdef sinkhorn(p, q, C, epsilon, max_iters=1000):"""Sinkhorn算法实现最优传输问题的解决参数：- p: 输入概率分布p，形状为(m, )的一维数组- q: 输入概率分布q，形状为(n, )的一维数组- C: 成本矩阵C，形状为(m, n)的二维数组- epsilon: 正则化参数- max_iters: 最大迭代次数，默认为1000返回：- P: 转移矩阵P，形状为(m, n)的二维数组"""assert len(p) == C.shape[0], "维度不匹配"assert len(q) == C.shape[1], "维度不匹配"K = np.exp(-C / epsilon)  # 构造指数内核矩阵KP = np.ones_like(C)  # 初始化转移矩阵Pfor _ in range(max_iters):P *= (p / np.sum(K @ P, axis=1, keepdims=True)).TP *= (q / np.sum(K.T @ P, axis=1, keepdims=True)).Treturn P# 示例用法
p = np.array([0.2, 0.3, 0.5])
q = np.array([0.1, 0.4, 0.5])
C = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])P = sinkhorn(p, q, C, epsilon=0.1)
print(P)